2008-09-30

いくつかの指数分布の加重平均した分布を超指数分布と言います。ここでは２つの指数分布の加重平均になる超指数分布を考えます。

$f(t)=p\gamma_1\exp(-\gamma_1t)+(1-p)\gamma_2\exp(-\gamma_2t)$ ・・・・(1)
ただし
- $t{\ge}0$
- [tex:0

これは平均

$\frac{1}{\gamma_1}$

の指数分布

$f_1(t)=\gamma_1\exp(-\gamma_1t)$

と、平均

$\frac{1}{\gamma_2}$

の指数分布

$f_2(t)=\gamma_2\exp(-\gamma_2t)$

の加重平均になっています。
バランスのとれた平均を持つ超指数分布は、さらに、両者の重み付けられた平均が等しいという条件を満たす超指数分布です。すなわち

$p\frac{1}{\gamma_1}=(1-p)\frac{1}{\gamma_2}$ ・・・・(2)

このようなバランスのとれた平均を持つ超指数分布の平均と分散、２乗変動係数を求めてみます。

バランスのとれた平均を持つ超指数分布が正規化されていることの確認

上の(1)の分布に従う確率変数を $T$ で表わします。まずこの分布が規格化されていることを確かめます。

$\Bigint_0^{\infty}f(t)dt=p\Bigint_0^{\infty}\gamma_1\exp(-\gamma_1t)dt+(1-p)\Bigint_0^{\infty}\gamma_2\exp(-\gamma_2t)dt=p+(1-p)=1$

これで(1)が規格化されていることが確かめられました。

バランスのとれた平均を持つ超指数分布の平均

次に平均 $E(T)$ を求めます。

- $=p\frac{1}{\gamma_1}+(1-p)\frac{1}{\gamma_2}$

ここで(2)を考慮すれば

$E(T)=2p\frac{1}{\gamma_1}$

ここから

$\gamma_1=\frac{2p}{E(T)}$ ・・・・(3)

(3)を(2)に代入して解けば

$\gamma_2=\frac{2(1-p)}{E(T)}$ ・・・・(4)

バランスのとれた平均を持つ超指数分布の分散、２乗変動係数

次に分散 $Var(T)$ を求めるためにまず $E(T^2)$ を求めます。

- $=p\frac{2}{\gamma_1^2}+(1-p)\frac{2}{\gamma_2^2}$

ここで(3)(4)を代入すると

$E(T^2)=p\frac{2E(T)^2}{4p^2}+(1-p)\frac{2E(T)^2}{4(1-p)^2}=\frac{E(T)^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)$

よって

$E(T^2)=\frac{E(T)^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)$ ・・・・(5)

よって分散 $Var(T)$ は

$Var(T)=E(T^2)-E(T)^2=\frac{E(T)^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)-E(T)^2=\frac{E(T)^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}-2\right)$

よって

$Var(T)=E(T^2)-E(T)^2=\frac{E(T)^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}-2\right)$ ・・・・(6)

ここから２乗変動係数 $c^2$ は

$c^2=\frac{Var(T)}{E(T)^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}-2\right)$

よって

$c^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}-2\right)$ ・・・・(7)

です。これを $p$ について解くと

$2c^2p(1-p)=1-p+p-2p(1-p)$

よって

$2c^2p-2c^2p^2=1-2p-2p^2$
$2(c^2+1)p^2-2(c^2+1)p+1=0$

よって

$p=\frac{2(c^2+1){\pm}\sqrt{4(c^2+1)^2-8(c^2+1)}}{4(c^2+1)}$

よって

$p=\frac{1}{2}\left[1{\pm}\sqrt{\frac{c^2-1}{c^2+1}}\right]$

また

$1-p=\frac{1}{2}\left[1{\mp}\sqrt{\frac{c^2-1}{c^2+1}}\right]$

よって上の式でプラスを採用してもマイナスを採用しても $p$ と $1-p$ が入れ替わるだけなので、ここでは便宜的にプラスを採用することにします。

$p=\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{\frac{c^2-1}{c^2+1}}\right]$ ・・・・(8)

式(8)から分かるように $c^2{\ge}1$ 、すなわち $c{\ge}1$ でなければなりません。バランスのとれた超指数分布の変動係数は１以上です。

バランスのとれた平均を持つ超指数分布のグラフ

このようなバランスのとれた超指数分布の例（ $c^2=2,4,8,16$ の時）をグラフに示します。比較のために指数分布もグラフに示します。なお、これらの分布の平均は全て１になるようにしてあります。