合流 複数のポアソン過程が合流して出来た過程もポアソン過程になります。 問題を単純化するためにＡ１とＡ２の２つのポアソン到着が合流してＢになる場合を考えます。以下、考えることは３つ以上の到着の流れが合流する場合にもそのまま適用できます。Ａ１…

「Ｍ／Ｍ／ｍの出発過程はポアソン過程（１）」の続きです。前回の結果は [tex:k ・・・・・（４） の時 ・・・・・（５） でした。今回は、これを元に出発過程の確率密度を求めます。 ステーションからのジョブの出発に対応する状態遷移は下図の赤の矢印で…

ブログ二周年を迎えました。今まで毎日書くことが出来ました。今年は多くの人と出会いました。会っていなくてもブログ上で知り合いになった人も出来ました。世の中にはスゴイ人々が一杯いるものだなあ、と思いました。その方々に会って、私は私の「工場統計…

「Ｍ／Ｍ／２の出発過程はポアソン過程」の続きです。 ここまでくれば、Ｍ／Ｍ／ｍの出発過程もポアソン過程であることが推測されます。それを証明してみましょう。「Ｍ／Ｍ／２の出発過程はポアソン過程」での下図 に対応する図を描けば下図のようになりま…

「Ｍ／Ｍ／２の出発過程は何？（２）」の続きです。 前回の結論は下の図 と、下の一連の微分方程式 ・・・・・・（８） ・・・・・・（９） ・・・・・・（１０） と初期条件 ・・・・・・（５） ・・・・・・（６） ・・・・・・（７） でした。（８）〜（…

「Ｍ／Ｍ／２の出発過程は何？（１）」の続きです。 状態が変化していく様子を図にまとめてみましょう。まず、時刻０で装置が２台とも処理中の場合についてです。この場合、ある時刻から後までの間に の確率でジョブが出発して、次の状態に移ります。次の状…

Ｍ／Ｍ／１の出発過程はポアソン過程でした。では、Ｍ／Ｍ／２の場合はどうなるでしょうか？ 同じように考えてみましょう。 今度は装置が２台あるので、場合分けは、２台とも処理中の場合、１台だけが処理中の場合、２台とも空いている場合の３通りとなりま…

Ｍ／Ｍ／１待ち行列の出発過程もポアソン過程になります。すなわち、出発時刻の間隔の分布が指数分布になります。このことを見ていきます。 装置の利用率をとします。時刻0にジョブが出発したとして、との間に次のジョブが出発する確率を求め、確率密度がポ…

なんとか（Ｇ／Ｇ／ｍでは難しいのは目に見えているので、せめて）Ｍ／Ｇ／１の時の待ち行列システム内のジョブ数の定常確率分布を求めたいと願っています。それも難しいのであればせめてＭ／Ｄ／１の時のジョブ数の定常確率分布を求めたいと願っています。 …

オペレーションズ・リサーチ : 経営の科学----CiNii 2000年 2001年 2002年 47(1) 「経営科学のニューフロンティア」シリーズ-7, 高橋幸雄/森村英典, 著混雑と待ち, 朝倉書店, (221頁) 47(9) 「待ち行列理論とその応用 : 未来への展望」シンポジウムルポ(情報…

オペレーションズ・リサーチ : 経営の科学----CiNii 1990年 35(2) シミュレーションによる待ち行列モデルの最適化について(特集：シミュレーション) 1991年 36(3) 物と情報の流れの待ち行列網モデル(特集：CIM要素技術の最前線) 36(4) 待ち行列の点過程モデ…

「オペレーションズ・リサーチ : 経営の科学」の中で無料で読める待ち行列理論関連の記事をまとめておきたいのでこのページを作ります。ブックマークでもよかったんだけど、年代順に並べたかったので（そのうちに別の分類わけをするかもしれないし・・）。オ…

４９歳になっても恋をする。仕事中も気になって頭から離れない。相手は待ち行列理論。つまり、とっくの昔に待ち行列理論に恋していたんだね。工場生産改善のためとか何とか理由をつけていたけど、本当の理由は簡単、つまりは恋してたんだ。今日、それに気づ…

プルターク英雄伝 1 テーセウス,ロームルス,リュクールゴス,ヌマ (岩波文庫 赤 116-1)作者: プルターク,河野与一出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 1952/04/05メディア: 文庫 クリック: 1回この商品を含むブログ (7件) を見る 前日の話でギリシアの英雄時代…

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これについては「Factory Physics」という本に印象深いお話が載っています。この本の著者（２名）は工場運用のコンサルタントをしているのですが、ある時、ある組立工場の見学をしたということです。そこでその工場の案内役が得々として、最近の改善事例を説…

「工場にはボトルネックが１つ存在する（１）」のところで、 工場統計力学は、複雑な生産現場の振る舞いを近似的にでも理解するために、いくつかのモデルを提供することを目指しています。 と書きました。今日、ご紹介する下の図は、生産現場の振る舞いを表…

これはシュンポシオン横浜ネタです。 １２月１３日開催されたシュンポシオン横浜（結局、何の集まりなんだっけ？） の席で、何人かの方から「あの数式の意味は何だ？」「何だか分からんけど見ている」というお話をお聞きして、感激しております。ところが、…

「ケリーネットワークの定常状態確率とジャクソンネットワークの定常状態確率（２）」の続きです。 ケリーネットワークを通過するジョブがネットワークに滞在する期間の平均、すなわちサイクルタイムはどれだけでしょうか？ まず、ある１つのステーションに…

シュンポシオン横浜は間違いなく大成功でした。２０代の『青年の主張（？）』がとてもすばらしかった。前座のお二人（id:segawabiki、id:koichiro516）の発表がうまいのは予想していましたが、２０代の方々の発表がどれも（おせじではなく全員が！）すばらし…

中山さん（id:taknakayama）、辻さん（id:Ronron）、下川さん（id:Emmaus）、佐上さん（id:rairakku6）、小野さん（id:sap0220）、いろいろ準備されたその他の皆さんに、感謝致します。特に、シュンポシオン横浜の構想者にして、１１月に事故で右手薬指を負…

昨夜、倉田さん(id:atkura)のブログで倉田さんの声ブログを聞いている時に、ふと「全ての記録は不在を前提にしている」という気持ちが湧いてきて、少し寂しくなった。特に声は、その人の（この場合は倉田さんの）存在をありありと感じさせるので、聞いている…

このタイトルは「リトルの法則」のことを意味しています。工場での製品の製作期間と単位時間あたりの生産量をかけ合わせると、工場内にある製品の量（＝仕掛量）になる、というのがリトルの法則です。 この図では省略していますが、横軸が時間を表しています…

私はまだ家にいるが、遠く横浜の夜空の下では、走っている男たち。 何か愉快だ。もう始まっているんだ。もうすぐそこに行くよ。あすは夜明け前に家を出る（・・・・はず）。 横浜へ！

この図にはもう一つ使い道があります。それは下図に示すように ボトルネックをムダに使っているかどうか反省するきっかけになるということです。 ボトルネック工程が工場の生産量を決めているのでした。（ただし、これは作っただけ製品が売れるという状況に…

工場統計力学は、複雑な生産現場の振る舞いを近似的にでも理解するために、いくつかのモデルを提供することを目指しています。モデルというのは現実の一面を取り出して組立てたものです。現実に比べれば極めて単純です。もちろん、モデルの振る舞いは現実の…

いよいよ今週末にシュンポシオン横浜が開催されます。それで自己紹介ペーパーを作ったのですが、４９歳の私のペーパーの出番はきっと少なかろう。ほんじゃ、もうここで公開しちゃおうか、ということで公開します。と言ってもここで公開するのはその後半だけ。…

１１月３０日に吉岡さん(id:future-human)にお会いして、「とうふや」という名の豆腐料理店に行きました。下の写真はその時、吉岡さんが撮った写真です。 私たち二人が店の人に通された席は窓のそばの席でした。窓の外には見事に黄色に色づいたイチョウの木…

「ケリーネットワークの定常状態確率とジャクソンネットワークの定常状態確率（１）」の続きです。 次にステーションの全てのジョブのクラスが任意のクラスである場合の確率を で表します。上と同様に考えると ・・・・・・（９） となります。 の部分は「Ｍ…

「ケリーネットワークの積形式解の存在証明の試み（再挑戦）（３）」で、ケリーネットワークの定常状態確率の式を求めることが出来ました。それは積形式になっており、 ・・・・・（１） ただし はステーションの数 はステーションでのジョブ数 ・・・・・・…