つなぎの式の導出（４）

待ち行列理論

「つなぎの式の導出（３）」の続きです。


そこで今度は具体的な系列を想定して、それを複数重ね合わせて出来た系列の変動係数がどうなるか見ていきます。最初に考えるのは重ね合わせる前の系列が等間隔、つまり変動係数c_e=0の場合です。この場合には困ったことになります。
例えば１０秒間隔の系列を２個重ね合わせた場合、もし、その２つの系列の点に５秒のズレがあるならば、重ね合わせて出来た系列は５秒を間隔とする等間隔系列になります。この時は変動係数c_e(2)=0となります。

  • 図５

あるいはズレが１秒しかないならば、間隔は１秒と９秒を繰り返すことになります。

  • 図６

この場合、重ね合わせて出来た系列の間隔を表わす確率変数をXで表すと

  • E(X)=5
  • E(X^2)=\frac{1^2+9^2}{2}=41

よって変動V(X)は

  • V(X)=E(X^2)-E(X)^2=41-25=16

よって

  • c_e(2)^2=V(X)/E(X)^2=16/25=0.64

となります。つまり困ったことに、２つの系列の位置関係によって、合成された系列の変動係数は異なってしまいます。そこで少し考えを変えて、c_eが厳密にはゼロでなく、もとの系列における間隔は１０秒をほんのわずかに確率的に変動すると考えます。そうすると２つの系列の間のズレは、（上の例では）０秒から１０秒までの数直線上に一様に分布することが推定されます。
ズレが１秒であれば、合成された系列の間隔の値は１秒と９秒がそれぞれ５０％の確率で出現します。
ズレが２秒であれば、２秒と８秒がそれぞれ５０％の確率で、
ズレが３秒であれば、３秒と７秒がそれぞれ５０％の確率で、
ズレが４秒であれば、４秒と６秒がそれぞれ５０％の確率で、
ズレが５秒であれば、５秒と５秒がそれぞれ５０％の確率で
出現します。このズレは本来は０秒から１０秒まで連続的に変動しますから、間隔の発生確率分布は、上の例から推測して

  • 図７

のような一様分布になると考えられます。ここからE(X)とE(X^2)を計算すると、

  • E(X)=\frac{1}{10}\Bigint_0^{10}tdt=\frac{1}{10}\left[\frac{t^2}{2}\left]_0^{10}=\frac{1}{10}\frac{100}{2}=5
  • E(X^2)=\frac{1}{10}\Bigint_0^{10}t^2dt=\frac{1}{10}\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^{10}=\frac{1}{10}\frac{1000}{3}=\frac{100}{3}
  • V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{100}{3}-25=\frac{100-75}{3}=\frac{25}{3}

よって

  • c_e(2)^2=V(X)/E(X)^2=\frac{25}{3}\frac{1}{25}=\frac{1}{3}

ここで式（３３）を登場させ

  • c_e(m)^2=1+m^x(c_e^2-1)・・・・・（３３）

式（３３）に

  • c_e^2=0
  • c_e(2)=\frac{1}{3}
  • m=2

を代入すると

  • \frac{1}{3}=1-2^x
  • 2^x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
  • x\log(2)=\log(2)-\log(3)
  • x=1-\frac{\log(3)}{\log(2)}=-0.585

となりx=-0.5に近い値を得ます。もしx=-0.5という値を採用するならば式（３３）は

  • c_e(m)^2{\approx}1+\frac{1}{sqrt{m}}(c_e^2-1)・・・・・（１８）

に一致します。


さらに別の例で確かめてみましょう。c_e=0、すなわち一定間隔、の系列を３つ重ねた場合はどうなるでしょうか？　これを計算するのは２つ重ねた場合よりもかなり難しくなります。この場合は０秒から１０秒までの間に一様分布で変動する点を２点置き、この２点で区切られた３つの線分の長さの変動係数を求める、という作業になります。この計算は面倒なので工夫が必要になります。しばらくは、その前準備に費やします。