Ｍ／Ｇ／１／４待ち行列（１）

「Ｍ／Ｇ／１／３待ち行列（１）」の内容をＭ／Ｇ／１／４の場合に拡張します。

まず、サービス終了時のシステム内のジョブ数に注目します。この時、サービスを終了したジョブはジョブ数に含めません。そうするとジョブ数は３の時と２の時と１の時とゼロの時があります。それぞれの確率を、、、で表わします。

あるサービス後にジョブが０個の場合、以下の２つの場合が考えられます。

• 前のサービス後にジョブが０個で、しばらくサーバが空いており、その後次にジョブが到着してサービス時間の間、ジョブの到着がなかった。
• 前のサービス後にジョブが１個で、そのジョブのサービス時間の間、ジョブの到着がなかった。

サービス時間の間、ジョブが到着しない確率をとします。定常状態であることを考えると上の考察から

• 

となります。よって

• ・・・・(1)

あるサービス後にジョブが１個の場合、以下の３つの場合が考えられます。

• 前のサービス後にジョブが０個で、しばらくサーバが空いており、その後次にジョブが到着してサービス時間の間、ジョブが１個到着した。
• 前のサービス後にジョブが１個で、そのジョブのサービス時間の間、ジョブが１個到着した。
• 前のサービス後にジョブが２個で、そのうちの１つのジョブのサービスの間、ジョブの到着がなかった。

サービス時間の間、ジョブが１個到着する確率をとします。定常状態であることを考えると上の考察から

• 

よって

• 
• ・・・・(2)

式(2)に(1)を代入して

• 
  • 
  • 

よって

• ・・・・(3)

あるサービス後にジョブが２個の場合、以下の４つの場合が考えられます。

• 前のサービス後にジョブが０個で、しばらくサーバが空いており、その後次にジョブが到着してサービス時間の間、ジョブが２個到着した。
• 前のサービス後にジョブが１個で、そのジョブのサービス時間の間、ジョブが２個到着した。
• 前のサービス後にジョブが２個で、そのうちの１つのジョブのサービスの間、ジョブが１個到着した。
• 前のサービス後にジョブが３個で、そのうちの１つのジョブのサービスの間、ジョブの到着がなかった。

サービス時間の間、ジョブが２個到着する確率をとします。定常状態であることを考えると上の考察から

• 

よって

• 
• ・・・・(4)

式(4)に(1)(3)を代入して

• 
  • 
  • 
  • 

よって

• ・・・・(5)

Ｍ／Ｇ／１／４の場合、サービス終了時のシステム内のジョブ数はゼロか１か２か３のどれかしかないので

• ・・・・(6)

式(6)の右辺に(1)(3)(5)を代入して

• 
  • 
  • 

よって

• 

よって

• ・・・・(7)

式(7)を(1)に代入して

• ・・・・(8)

式(7)を(3)に代入して

• ・・・・(9)

式(7)を(5)に代入して

• ・・・・(10)

となります。