ホップフィールドネットワーク理解に向けての準備体操（３）

$s_{12}=s_{21}=-1$ のネットワークには $(x_1,x_2)=(-1,1)$ と $(x_1,x_2)=(1,-1)$ の２つの安定な状態があるということが分かりました。このことを念頭におくと最初に考えた $s_{12}=s_{21}=1$ のネットワークも

図１
$(x_1,x_2)=(1,1)$

の安定状態のほかに

図１２
$(x_1,x_2)=(-1,-1)$

の安定状態が存在することが分かります。ここから、ある安定状態の個々のニューロンの出力で「１」と「−１」を入れ替えたものも安定状態になることが推測されます。この推測を確かめるのはのちに行います。

次にニューロンが３個のホップフィールドネットワークを調べてみます。最初は全てのシナプス係数が１であるようなネットワークを考えます。この時は $(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1)$ が安定状態になります。

図１３

各々のニューロンの入力を考え、 $u_i=\Bigsum_j^3s_{ij}x_j$ と $x_i=1(u_i)$ を計算すれば、上の状態が安定していることが分かります。さて、上の状態の１とー１を入れ替えた

図１４

も、やはり安定状態であることが分かります。ホップフィールドネットワークのおもしろいところは、安定でない状態を初期状態として設定して動作させた場合に、それがやがて安定状態のいずれかに到達するというところです。例として初期状態として $(x_1,x_2,x_3)=(1,-1,1)$ を設定した場合を考えてみます。