工場統計力学（建設中！）

ガンマ関数（４）

確率論

「ガンマ関数（２）」では

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\Bigint_0^{\infty}s^{-1/2}\exp(-s)ds$ ・・・・(8)

を計算するために、 $s=t^2$ とおいて式(8)を変形して

$\Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt$

の形にして計算しました。これを拡張して

$\Gamma(x)=\Bigint_0^{\infty}s^{x-1}e^{-s}ds$ ・・・・(1)

で $s=t^2$ とおいてみるとどうなるかみてみましょう。まず $ds=2tdt$ になります。式(1)は

$\Gamma(x)=2\Bigint_0^{\infty}t^{2(x-1)}\exp(-t^2)tdt$
$\Gamma(x)=2\Bigint_0^{\infty}t^{2x-1}\exp(-t^2)tdt$
$\Bigint_0^{\infty}t^{2x-1}\exp(-t^2)dt=\frac{\Gamma(x)}{2}$ ・・・・(17)

となります。ここで $2x-1$ とおくと $x=\frac{n+1}{2}$ 。よって式(17)は

$\Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)$ ・・・・(18)

となります。ここからたとえば

- $\Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $\Bigint_0^{\infty}t\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(1\right)$
- $\Bigint_0^{\infty}t^2\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$
- $\Bigint_0^{\infty}t^3\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(2\right)$

などが導かれます。ここで $n$ が１以上の奇数であるとすると $(n+1)/2$ は自然数になり、その場合「ガンマ関数」の式(7)

$\Gamma(x)=(x-1)!$ ・・・・(7)

から

$\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)=\left(\frac{n+1}{2}-1\right)!$

よって

$\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)=\left(\frac{n-1}{2}\right)!$

となるので式(18)は

$\Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{2}\right)!$ ・・・・(19)

となります。これは $n$ が１以上の奇数の場合です。では $n$ が０以上の偶数の場合には式(18)はどう表されるでしょうか？　まず $m$ を自然数として $n=2m$ とおきます。すると式(18)の右辺は $\frac{1}{2}\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)$ になります。では、 $\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)$ を求めてみましょう。

まず「ガンマ関数（２）」の式(11)

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ ・・・・(11)

が分かっています。次に

$\Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $\left(2+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$

これらを一般化すると

$\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)=\left(m-1+\frac{1}{2}\right)\left(m-2+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ ・・・・(20)

となります。式(20)の右辺は以下のように変形出来ます。

- $\frac{2m-1}{2}\cdot\frac{2m-3}{2}\cdot\cdot\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots{3}\cdot{1}}{2^m}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $=\frac{2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)\cdots{3}\cdot{2}\cdot{1}}{2^m\cdot{2m}(2m-2)\cdots{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $=\frac{2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)\cdots{3}\cdot{2}\cdot{1}}{2^m\cdot{2}^mm(m-1)\cdots{1}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$
- $=\frac{(2m)!}{2^m\cdot{2}^mm!}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2m)!}{2^{2m}m!}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$

よって式(20)は

$\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2m)!}{2^{2m}m!}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ ・・・・(21)

式(21)と(11)から

$\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2m)!}{2^{2m}m!}\sqrt{\pi}$ ・・・・(22)

ここで $n=2m$ を用いると

$\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)=\frac{n!}{2^n\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}$ ・・・・(23)

式(23)を(18)の右辺に代入して

$\Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\frac{n!}{2^n\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}$

よって

$\Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{n!}{2^{n+1}\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}$ ・・・・(24)

これは $n$ が０以上の偶数の場合に成り立ちます。

以上の結果とまとめると

- が０以上の偶数の場合
  - $=\frac{n!}{2^{n+1}\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}$ ・・・・(24)
- が１以上の奇数の場合
  - $=\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{2}\right)!$ ・・・・(19)

となります。