ガンマ関数(4)
「ガンマ関数(2)」では
- ・・・・(8)
を計算するために、とおいて式(8)を変形して
の形にして計算しました。これを拡張して
- ・・・・(1)
でとおいてみるとどうなるかみてみましょう。まずになります。式(1)は
- ・・・・(17)
となります。ここでとおくと。よって式(17)は
- ・・・・(18)
となります。ここからたとえば
などが導かれます。ここでが1以上の奇数であるとするとは自然数になり、その場合「ガンマ関数」の式(7)
- ・・・・(7)
から
よって
となるので式(18)は
- ・・・・(19)
となります。これはが1以上の奇数の場合です。ではが0以上の偶数の場合には式(18)はどう表されるでしょうか? まずを自然数としてとおきます。すると式(18)の右辺はになります。では、を求めてみましょう。
まず「ガンマ関数(2)」の式(11)
- ・・・・(11)
が分かっています。次に
これらを一般化すると
- ・・・・(20)
となります。式(20)の右辺は以下のように変形出来ます。
よって式(20)は
- ・・・・(21)
式(21)と(11)から
- ・・・・(22)
ここでを用いると
- ・・・・(23)
式(23)を(18)の右辺に代入して
よって
- ・・・・(24)
これはが0以上の偶数の場合に成り立ちます。
以上の結果とまとめると
-
- が0以上の偶数の場合
- ・・・・(24)
- が1以上の奇数の場合
- ・・・・(19)
- が0以上の偶数の場合
となります。