【定理１０ｂ】

補足説明

以下は、「搬送時間ありＧ／Ｇ／ｍのサイクルタイム定理が求まらない」の説明の一部です。

装置 $k$ で $p$ 番目に処理されたロットをロット $(k,p)$ 、その処理時間を $t_{e(k,p)}$ とする。全ての $k$ の全ての処理ロット $(k,p)$ について

$CET_{max}\le{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}$

の時、もしロット $(k,i)$ のガントチャートにおいてＴＬ（ロットがストッカからロードポートに搬送される時間）が先頭に来ていない（例えば下図の例のロット３）ならば、 $S_{(k,i)}=E_{(k,i-1)}$ である。

（証明）

このロットのストッカへの到着時刻をとする。また、ロットのＴＬの開始時刻を、終了時刻をとする。また、ロットがロードポートに来る時のキャリア交換時間をとする。
- キャリア交換は２つのロットが関係するが、ここでは、新しくロードポートに来るロットのほうの添字を $CET$ の添字とすることにしている。
ロットのガントチャートでＴＬが先頭に来ないということは、ストッカで待ちがあった、ということである。最初ストッカで待っていて、次に
- $LS_{(k,i)}$
の時にロードポートに向かい始めたということはキャリア交換を行ったということである。このキャリア交換は時刻
- $LE_{(k,i)}$
に完了しているので、キャリア交換が始まったのは時刻
- $LE_{(k,i)}-CET_{(k,i)}$
である。
よってロットがロードのために選ばれた
- $LS_{(k,i)}$
の時には、装置のロードポート内の１つのロットが処理を完了してから
- $LS_{(k,i)}-LE_{(k,i)}+CET_{(k,i)}=CET_{(k,i)}-TL_{(k,i)}$
経っていることになる。ただし $TL_{(k,i)}=LE_{(k,i)}-LS_{(k,i)}$ はロット $(k,i)$ のＴＬである。
また、この時、他の $LP-1$ 個のロードポートは全て処理前のロットを持っているはずである。さもなければ、ロット $(k,i)$ はもっと前に装置 $k$ のロードポートに向かったはずだからである。
よって、これらの個のロットの処理が完了するのは、この時点で完了したロットをロットとすると、時刻から
- ${\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}-(CET_{(k,i)}-TL_{(k,i)})$
後、つまり時刻
- $LS_{(k,i)}+\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}-(CET_{(k,i)}-TL_{(k,i)})=LE_{(k,i)}-CET_{(k,i)}+\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}$
となる。ここで
- $CET_{max}\le{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}$
なので、
- $CET_{(k,i)}\le{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}$
よって、
- ${\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}-CET_{(k,i)}{\ge}0$
よって
- $LE_{(k,i)}-CET_{(k,i)}+{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{e(k,j)}}}{\ge}LE_{(k,i)}$
つまり、 $LP-1$ 個のロットが処理完了する時刻のほうがロット $(k,i)$ がロードポートに到着する時刻より遅いか、早くて同時である、ということになる。
いずれの場合も、ロットの処理開始時刻が、その１つ前のロットの処理終了時刻と等しくなる。ロットの処理開始時刻をを、装置での、その１つ前のロット（ロット）の処理終了時刻をで表すと、
- $S_{(k,i)}=E_{(k,i-1)}$
となる。

（証明終わり）