複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（２）

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（１）」の続きです。

前回と同じく装置は４台のままで今度は状態 $\{(1,2,3,3)\}$ の定常状態確率を求めてみます。まずは

[tex:P*1\frac{4}{t_e}=P*2\lambda_3+P*3\lambda_2+P*4\lambda_1]・・・・・（１７）

よって

[tex:P*5=\frac{1}{4}\{P*6\lambda_3{t_e}+P*7\lambda_2{t_e}+P*8\lambda_1{t_e}\}]
[tex:P*9=4{\times}\frac{1}{4}\{P*10u_3+P*11u_2+P*12u_1}\}]

ここで式（１３）を代入して

[tex:P*13=4{\times}\frac{1}{4}\{4^3p_0u_1u_2u_3^2+P*14u_2+P*15u_1}\}]・・・・・（１８）

次に[tex:P*16]と[tex:P*17]を求めます。まず[tex:P*18]は

[tex:P*19\frac{3}{t_e}=P*20\lambda_3+P*21\lambda_1]

よって

[tex:P*22=4{\times}\frac{1}{3}\{P*23u_3+P*24u_1\}]

ここで式（８）を代入して

[tex:P*25=4{\times}\frac{1}{3}\{4^2p_0u_1u_3^2+P*26u_1\}]・・・・・（１９）

次に[tex:P*27]を求めます。

[tex:P*28\frac{2}{t_e}=P*29\lambda_3]

よって

[tex:P*30=4{\times}\frac{1}{2}P*31u_3]

ここで式（５）を代入して

[tex:P*32=\frac{4^2}{2}p_0u_3^2]・・・・・（２０）

式（１９）に式（２０）を代入して

[tex:P*33=4{\times}\frac{1}{3}\{4^2p_0u_1u_3^2+\frac{4^2}{2}p_0u_1u_3^2\}]
[tex:P*34=\frac{4^3}{2}p_0u_1u_3^2]・・・・・（２１）

同様に考えて

[tex:P*35=\frac{4^3}{2}p_0u_2u_3^2]・・・・・（２２）

式（２１）（２２）を式（１８）に代入して

[tex:P*36=4{\times}\frac{1}{4}\{4^3p_0u_1u_2u_3^2+\frac{4^3}{2}p_0u_1u_2u_3^2+\frac{4^3}{2}p_0u_1u_2u_3^2}\}]
[tex:P*37=\frac{4^4}{2}p_0u_1u_2u_3^2]・・・・・（２３）

これで状態 $\{(1,2,3,3)\}$ の定常状態確率[tex:P*38]を求めることが出来ました。

なお、式（２０）を一般化して

[tex:P*39=\frac{4^2}{2}p_0u_i^2]・・・・・（２４）

式（２１）（２２）を一般化して、 $i{\ne}j$ の時

[tex:P*40=P*41=\frac{4^3}{2}p_0u_iu_j^2]・・・・・（２５）

式（２３）を一般化して、 $i{\ne}j$ 、 $i{\ne}k$ 、 $j{\ne}k$ の時

[tex:P*42=P*43=P*44=\frac{4^4}{2}p_0u_iu_ju_k^2]・・・・・（２６）

また式（３）〜（６）を一般化して

[tex:P*45=4p_0u_i]・・・・・（２７）

式（７）〜（１２）を一般化して、 $i{\ne}j$ の時

[tex:P*46=4^2p_0u_iu_j]・・・・・（２８）

式（１３）〜（１６）を一般化して、 $i{\ne}j$ 、 $i{\ne}k$ 、 $j{\ne}k$ の時

[tex:P*47=4^3p_0u_iu_ju_k]・・・・・（２９）

今度は[tex:P*48]を求めてみます。まず

[tex:P*49\frac{3}{t_e}=P*50\lambda_2]

よって

[tex:P*51=4{\times}\frac{1}{3}P*52u_2]

ここで式（２４）を用いて

[tex:P*53=4^3{\times}\frac{1}{3{\times}2}p_0u_2^3]
[tex:P*54=\frac{4^3}{3!}p_0u_2^3]

これを一般化して

[tex:P*55=\frac{4^3}{3!}p_0u_i^3]・・・・・（３０）

次に

[tex:P*56\frac{4}{t_e}=P*57\lambda_2+P*58\lambda_1]

よって

[tex:P*59=4{\times}\frac{1}{4}\{P*60u_2+P*61u_1\}]

これに式（２５）（３０）を用いて

[tex:P*62=4^4{\times}\frac{1}{4}p_0(\frac{1}{2}u_1u_2^3+\frac{1}{3!}u_1u_2^3)]
[tex:P*63=\frac{4^4}{3!}p_0u_1u_2^3]

これを一般化して、 $i{\ne}j$ の時

[tex:P*64=P*65=\frac{4^4}{3!}p_0u_iu_j^3]・・・・・（３１）

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）」に続きます。

*1:1,2,3,3

*2:1,2,3

*3:1,3,3

*4:2,3,3

*5:1,2,3,3

*6:1,2,3

*7:1,3,3

*8:2,3,3

*9:1,2,3,3

*10:1,2,3

*11:1,3,3

*12:2,3,3

*13:1,2,3,3

*14:1,3,3

*15:2,3,3

*16:1,3,3

*17:2,3,3

*18:1,3,3

*19:1,3,3

*20:1,3

*21:3,3

*22:1,3,3

*23:1,3

*24:3,3

*25:1,3,3

*26:3,3

*27:3,3

*28:3,3

*29:3

*30:3,3

*31:3

*32:3,3

*33:1,3,3

*34:1,3,3

*35:2,3,3

*36:1,2,3,3

*37:1,2,3,3

*38:1,2,3,3

*39:i,i

*40:i,j,j

*41:j,j,i

*42:i,j,k,k

*43:i,k,k,j

*44:k,k,i,j

*45:i

*46:i,j

*47:i,j,k

*48:1,2,2,2

*49:2,2,2

*50:2,2

*51:2,2,2

*52:2,2

*53:2,2,2

*54:2,2,2

*55:i,i,i

*56:1,2,2,2

*57:1,2,2

*58:2,2,2

*59:1,2,2,2

*60:1,2,2

*61:2,2,2

*62:1,2,2,2

*63:1,2,2,2

*64:i,j,j,j

*65:j,j,j,i