Excelによる、ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の簡易シミュレート

「Marshallの公式に向けて（１）」でご紹介したことを応用して、Excelで $GI/G/1$ 待ち行列をシミュレートすることが出来ます。その仕方をご紹介しましょう。
「Marshallの公式に向けて（１）」でご紹介しましたように、 $n$ 番目に到着した客の待ち時間を $W_n$ 、サービス時間を $B_n$ 、 $n$ 番目と $n+1$ 番目の客の到着間隔を $A_n$ とすれば、

$W_{n+1}=\max(0,W_n+B_n-A_n)$ ・・・・(1)

となります。この式が成立する理由は「Marshallの公式に向けて（１）」に述べましたので、そこを参照下さい。この式を用いてExcelでシミュレートします。以下、説明の都合上客の到着間隔 $A_n$ については、少し定義を変えて $n-1$ 番目と $n$ 番目の客の到着間隔を $A_n$ であると定義し直します。こうすると $n$ 番目と $n+1$ 番目の客の到着間隔は $A_{n+1}$ となります。また、 $A_1=0$ とします。こうすると式(1)は以下のようになります。

$W_{n+1}=\max(0,W_n+B_n-A_{n+1})$ ・・・・(2)

ExcelのA1に「n」、B1に「到着間隔」、C1に「処理時間」、D1に「待ち時間」を入力します。

次にA2に「1」、B2に「0」、D2に「0」を入力します。

C2、C3、C4以下、C列には処理時間が入るのですがこれは確率変数です。例えば処理時間が平均6の２次のアーラン分布であるとしましょう。そうすると、それは「=GAMMAINV(RAND(),2,3)」で表されます。というのは、「ガンマ分布」のところで示したように２次のアーラン分布は $\alpha=2$ のガンマ分布で表すことが出来、さらに「ガンマ分布の平均と標準偏差」の式(5)で示したように平均 $m$ とガンマ分布の２つのパラメータ $\alpha$ と $\beta$ の間には

$m=\alpha\beta$

という関係があるので、これを用いれば $\beta=3$ になるからです。よってこの分布における、ある値 $x$ の累積確率密度はEXCELでは「GAMMADIST(x,2,3,TRUE)」の形で書けます。逆にその確率密度に従ってxを変動させるためには、EXCELにおける「RAND()」（＝乱数）が０から１までの区間の一様分布で変動することを考慮すれば、「GAMMAINV(RAND(),2,3)」とすればよいことが分かります（「Excelで確率変数を実現する方法」参照）。よってC2に「=GAMMAINV(RAND(),2,3)」を入力します。

次にA3に「2」を入力します。B3,B4,B5以下、B列には到着間隔が入るのですがこれは確率変数です。例えば到着間隔が平均8の指数分布であるとします。そうすると上記と同じように考えてそれは「=-8*LN(RAND())」になります。よってB3に「=-8*LN(RAND())」を入力します。C3にはC2をコピーします。D3には、式(2)を表す「=MAX(0,C2+D2-B3)」を入力します。

次にA3:D3の部分を選択して、下に好きなだけドラッグします。

こうすることによって、１から $n$ 番目までの到着間隔、処理時間、待ち時間が表示されることになります。A列は、 $n$ を表しています。この行を大きくして（たとえば1000行）そこに現れた待ち時間（D列）を平均すれば、シミュレーションによる平均待ち時間を求めることが出来ます。
以上でＧＩ／Ｇ／１待ち行列がシミュレート出来ました。