工場統計力学（建設中！）

Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（３）

待ち行列理論

「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（２）」で求めた

$\frac{p(j,t)}{p(j,0)}=r(t)$ ・・・・(9)

は、 $j{\ge}1$ の場合の $p(j,t)$ の時間変化を表すものでした。最後に $p(0,t)$ の時間変化を求めておきます。
全確率の定理から

$p(0,t)=1-\Bigsum_{j=1}^{\infty}p(j,t)$ ・・・・(18)

です。式(18)に式(9)を変形して代入すると

$p(0,t)=1-\Bigsum_{j=1}^{\infty}r(t)p(j,0)=1-r(t)\Bigsum_{j=1}^{\infty}p(j,0)$
$=1-r(t)\Bigsum_{j=1}^{\infty}p(j-1)=1-r(t)\Bigsum_{j=0}^{\infty}p(j)=1-r(t)$

よって

$p(0,t)=1-r(t)$ ・・・・(19)

となります。 $t=0$ の時は

$p(0,0)=1-r(0)=1-1=0$

です。これはジョブ到着直後には必ずジョブが少なくとも１つはシステム内に存在するので、当たり前です。 $t=T$ の時は

$p(0,T)=1-r(T)=1-b$

です。これは

$p(0,T)=p(0)=1-b$

なので、これも当たり前です。つまり、 $p(0,t)$ は $t=0$ から $t=T$ にかけて０から $1-b$ まで増加する、ということです。次に $p(0,t)$ の時間平均 $E[p(0,t)]$ を求めましょう。式(19)から

$E[p(0,t)]=1-E[r(t)]$

ここで「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（２）」の式(17)

$E[r(t)]=u$ ・・・・(17)

を用いれば

$E[p(0,t)]=1-u$ ・・・・(20)

$p(0,t)$ というのは装置が空いている確率なので、その平均値が $1-u$ になるというのは理にかなっています。Ｍ／Ｇ／１待ち行列ではＰＡＳＴＡによって、ジョブが到着する直前に装置が空いている確率は、装置が空いている時間平均

$1-u$

と等しくなりますが、Ｄ／Ｍ／１ではＰＡＳＴＡが成立しませんので、等しくなりません。装置が空いている時間平均は、Ｍ／Ｇ／１の時と同じく

$1-u$

ですが、ジョブが到着する直前に装置が空いている確率は $p(0,T)$ なので、上に見たように

$p(0,T)=1-b$

になります。