工場統計力学（建設中！）

Ｄ／Ｍ／１の定常状態確率

待ち行列理論

以前「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」で求めたのはＤ／Ｍ／１待ち行列のジョブ到着時の状態確率でした。時間平均での、システムが特定のジョブ数を有している確率は求めておりませんでした。この２つの分布は、到着過程がポアソン過程（Ｍ）ならばＰＡＳＴＡによって等しい分布になるのですが、Ｄ／Ｍ／１ではそうではないのでこの２つの分布は異なります。「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（２）」「（３）」の結果を用いることで時間平均でのＤ／Ｍ／１の定常状態確率を求めることが出来ます。今まで、ジョブ到着時にシステム内にジョブが $k$ 個ある確率を $p(k)$ で表してきましたが、これはまぎらわしいので $\pi(k)$ で表すことにします。そうすると「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１）」の式(1)は、以下のように書き直されます。

$\pi(k)=p(k,T)$ ・・・・(1)

一方、時間平均でみたシステム内にジョブが $k$ 個ある確率（＝定常状態確率）を $p(k)$ で表すことにします。これは定義から

$p(k)=E[p(k,t)]$ ・・・・(2)

となります。
まず、 $k{\ge}1$ の場合を考えます。「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（２）」の式(9)（ここでは番号を振り直して式(3)とします）

$\frac{p(k,t)}{p(k,0)}=r(t)$ ・・・・(3)

と式(17)（ここでは番号を振り直して式(4)とします）

$E[r(t)]=u$ ・・・・(4)

を用いれば

$u=E[r(t)]=E\left[\frac{p(k,t)}{p(k,0)}\right]=\frac{E[p(k,t)]}{p(k,0)}$

ここで式(2)を用いれば

$u=\frac{p(k)}{p(k,0)}$ ・・・・(5)

ここで「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１）」の式(1)（ここでは番号を振り直して式(6)とします）

$p(k,0)=p(k-1)=p(k-1,T)$ 　　ただし $(k{\ge}1)$ ・・・・(6)

を用いれば式(5)は

$u=\frac{p(k)}{p(k-1,T)}$ ・・・・(7)

ここで式(1)を用いれば、式(7)は

$u=\frac{p(k)}{\pi(k-1)}$ ・・・・(8)

ここで「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式(13)（ここでは番号を振り直して式(9)とします）

$\pi(k)=\pi(0)b^k$ ・・・・(9)

を用いれば、式(8)は

$u=\frac{p(k)}{\pi(0)b^{k-1}$

よって

の時
- $p(k)=u\pi(0)b^{k-1}$ ・・・・(10)

となります。「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式(14)から

$\pi(0)=1-b$ ・・・・(11)

なので、これを式(10)に代入すると

の時
- $p(k)=u(1-b)b^{k-1}$ ・・・・(12)

となります。 $p(0)$ については、Ｄ／Ｍ／１が装置を１台しか持っていないことを考慮すれば

$p(0)=1-u$ ・・・・(13)

となります。
よってまとめると

$p(0)=1-u$ ・・・・(13)
の時
- $p(k)=u(1-b)b^{k-1}$ ・・・・(12)

ただし $b$ は

$\frac{1}{b}\exp\left(\frac{b}{u}\right)=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(13)

を満足する値（「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式(16)参照。ここでは番号を振り直して式(13)としました）です。