ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の到着時状態分布（２）

「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の到着時状態分布（１）」の続きです。
ではＧＩ／Ｍ／１のときの $b$ はどのようにして求めることになるでしょうか？　「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」と同様に考えていけば

以上から、

$p(1)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)p(j-1)$ ・・・・・（１２）

と

$p(k)=p(0)b^k$ ・・・・・（１３）

から $b$ を求めれば、 $p(k)$ を求めることが出来ることが分かります。

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」

というところに到達します。今までの文脈に合わせて記号を変え、式の番号を振り直して以下に示します。

$\pi(1)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)\pi(j-1)$ ・・・・(13)
$\pi(k)=\pi(0)b^k$ ・・・・(14)

このうち式(14)は「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の定常状態分布（１）」の式(1)

$\pi(k)=(1-b)b^k$ ・・・・(1)

で代用出来ますので、式(14)は不要です。式(1)を式(13)に代入して

$(1-b)b=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)(1-b)b^{j-1}$

よって

$b=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)b^{j-1}$ ・・・・(15)

ここで「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の到着時状態分布（１）」の式(6)

$B(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{(t/t_e)^k}{k!}\exp(-t/t_e)g(t)dt$ ・・・・(6)

を式(15)の右辺に代入すると

- $=\Bigsum_{j=0}^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\frac{(t/t_e)^j}{j!}\exp(-t/t_e)g(t)dtb^j$
- $=\Bigsum_{j=0}^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\frac{(bt/t_e)^j}{j!}\exp(-t/t_e)g(t)dt$
- $=\Bigint_0^{\infty}\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{(bt/t_e)^j}{j!}\exp(-t/t_e)g(t)dt$
- $=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(\frac{bt}{t_e}\right)\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)g(t)dt$
- $=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)g(t)dt$

よって

$b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)g(t)dt$ ・・・・(16)

この式から $b$ を求めることになります。