ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の定常状態分布 - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の到着時状態分布（１）」で、ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布は

$\pi(k)=(1-b)b^k$ ・・・・(1)

の形をしていることが分かりましたが、では時間平均でみた定常状態分布はＤ／Ｍ／１のように（「Ｄ／Ｍ／１の定常状態確率」参照）

$p(0)=1-u$ ・・・・(2)
の時
- $p(k)=u(1-b)b^{k-1}$ ・・・・(3)

の形をしているかどうかが気になります。しかしＧＩ／Ｍ／１ではＤ／Ｍ／１で行った考察が使えません。到着過程が一定間隔ではないので「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１）」「（２）」「（３）」で行った考察が使えないのです。そこで別の方面から攻めてみます。
到着直前にシステム内のジョブが $k$ 個だった場合、このジョブ到着によって $k+1$ 個になります。この $k{\rightar}k+1$ の変化が単位時間あたり平均何回起きるか考えてみます。単位時間内の平均ジョブ到着数は

$\frac{u}{t_e}$ ・・・・(4)

でした。到着直前にシステム内のジョブ数が $k$ 個である確率は $\pi(k)$ になりますので、単位時間あたり $k{\rightar}k+1$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{u}{t_e}\pi(k)$ ・・・・(5)

になります。次に、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数を考えます。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個あったとしてそれが $k$ 個になるというのは、ジョブの処理が終了するということですが、このジョブの終了は単位時間あたり

$\frac{1}{t_e}$ ・・・・(6)

になります（ $k+1$ 個のジョブがシステム内にあるという前提なので、処理中のジョブが存在するという前提になります。ですから式(4)にはなりません）。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個ある確率は $p(k+1)$ なので、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数は