GI/G/1待ち行列の定常状態分布（３）

待ち行列理論

「GI/G/1待ち行列の定常状態分布（２）」の続きです。今度は式(6)

  • CT_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(6)

を用います。「GI/G/1待ち行列の定常状態分布（２）」の式(7)

  • L_q=CT_q{\times}\frac{u}{t_e}・・・・(7)

から

  • L_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u^2}{1-u}・・・・(13)

この式と「GI/G/1待ち行列の定常状態分布（２）」の式(10)

  • L_q{\approx}\frac{ub}{1-b}・・・・(10)

から

  • \frac{ub}{1-b}=\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u^2}{1-u}

よって

  • \frac{b}{1-b}=\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u}{1-u}
  • \frac{1-b}{b}=\frac{2(1-u)}{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}
  • \frac{1}{b}-1=\frac{2(1-u)}{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}
  • \frac{1}{b}=\frac{2(1-u)}{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}+1=\frac{2(1-u)+\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}=\frac{2-\{2-c_a^2-c_e^2u-c_a^2c_e^2(1-u)\}u}{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}


よって

  • b=\frac{\{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)\}u}{2-\{2-c_a^2-c_e^2u-c_a^2c_e^2(1-u)\}u}・・・・(14)

私は式(12)

  • b=\frac{(c_a^2+c_e^2)u}{2-(2-c_a^2-c_e^2)u}・・・・(12)

よりも式(14)のほうを推奨します。ためしにＤ／Ｍ／１の場合のbを求めてみると、式(14)にc_a=0、c_e=1を代入して

  • b=\frac{u^2}{2-(2-u)u}=\frac{u^2}{2-2u+u^2}

となり、「Ｄ／Ｍ／１待ち行列におけるbの近似式」の式(5)（ここでは番号を振り直して式(15)とします）

  • b{\approx}\frac{u^2}{2-2u+u^2}・・・・(15)

に一致します。