Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（１）

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」「（２）」での考察をもとにしてＤ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布についてどこまで明らかに出来るか試してみようと思います。

まず、ジョブが到着する間隔 $T$ は

$T=\frac{t_e}{su}$ ・・・・(1)

です。ここに $s$ は装置台数です。 $T$ の間にジョブが $k$ 個処理されたとします。 $k$ 個処理されたあともシステム内にジョブが $s$ 個以上ある場合について考えます。そうすると指数分布の処理時間でジョブを処理する装置がこの $T$ の間に空かなかったことになります。１台の装置が $t$ と $t+dt$ の間に処理を終了する確率は

$\frac{1}{t_e}dt$

です。よって、 $s$ 台の装置のいずれかが $t$ と $t+dt$ の間に処理を終了する確率は

$\frac{s}{t_e}dt$ ・・・・(2)

になります。よってこれは平均処理時間

$\frac{t_e}{s}$

の指数分布を持つ１台の装置と同等になります。よって $t$ の間にジョブが $k$ 個終了する確率はポアソン分布になります。「ポアソン分布」の式（１）から、 $t$ の間にジョブが $k$ 個終了する確率 $p(k;t)$ は

$p(k;t)=\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)$ ・・・・(3)

となります。ここで

$\lambda=\frac{s}{t_e}$ ・・・・(4)

であるので、

$p(k;t)=\frac{(st/t_e)^k}{k!}\exp(-st/t_e)$ ・・・・(5)

となります。よって間隔 $T$ の間にジョブが $k$ 個終了する確率は

$p(k;T)=\frac{(sT/t_e)^k}{k!}\exp(-st/t_e)$ ・・・・(6)

ここで式(1)を代入すれば

$p(k;T)=\frac{1}{u^kk!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(7)

この確率 $p(k;T)$ を $B(k)$ で表すことにします。

$B(k)=\frac{1}{u^kk!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(8)

さて、あるジョブ到着直前にシステムにジョブが $j$ 個あったとします。その次のジョブ到着直前に $k$ 個になる確率を $C(j,k)$ で表すことにします。この間隔の間にジョブは１個到着しますが、処理完了するジョブは最大、全部終了する可能性があります。よってジョブが２個以上増える確率はゼロです。よって