工場統計力学（建設中！）

Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）

待ち行列理論

「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（１）」の続きです。

$\pi(k+1)=b\pi(k)$ 　ただし $k{\ge}s-1$ ・・・・(13)

であることが分かりました。今度は $b$ の値を知りたいところです。そのために式(14)

$\pi(s)=\Bigsum_{j=s}^{\infty}B(j-s)\pi(j-1)$ ・・・・(14)

を調べます。式(14)の右辺は

- $=\pi(s-1)\Bigsum_{j=0}^{\infty}B(j)b^j$

よって

$\pi(s)=\pi(s-1)\Bigsum_{j=0}^{\infty}B(j)b^j$

ここで式(13)を考慮すれば

$b\pi(s-1)=\pi(s-1)\Bigsum_{j=0}^{\infty}B(j)b^j$
$b=\Bigsum_{j=0}^{\infty}B(j)b^j$ ・・・・(15)

ここで式(8)

$B(k)=\frac{1}{u^kk!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(8)

を式(15)に代入すれば

- $=\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{(b/u)^j}{j!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$
- $=\exp\left(-\frac{1}{u}\right)\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{(b/u)^j}{j!}$
- $=\exp\left(-\frac{1}{u}\right)\exp\left(\frac{b}{u}\right)$

よって

$\frac{1}{b}\exp\left(\frac{b}{u}\right)=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(16)

これは「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式(16)とまったく同じです。「Ｄ／Ｍ／１待ち行列におけるbの近似式」の式(5)で述べたように

$b{\approx}\frac{u^2}{2-2u+u^2}$ ・・・・(17)

で $b$ の近似値を求めることが出来ます。

次に式(13)から

$\pi(k)=b^{k-s}\pi(s)$ 　ただし $k{\ge}s$ ・・・・(18)

が言えます。ジョブ到着時に装置が全てつまっている確率、すなわち待ち確率 $\Pi_{D/M/s}$ はその定義から

$\Pi_{D/M/s}=\Bigsum_{k=s}^{\infty}\pi(k)$ ・・・・(19)

となります。ここに式(18)を代入すると

$\Pi_{D/M/s}=\Bigsum_{k=s}^{\infty}b^{k-s}\pi(s)=\pi(s)\Bigsum_{k=s}^{\infty}b^{k-s}=\pi(s)\Bigsum_{k=0}^{\infty}b^k$

よって

$\Pi_{D/M/s}=\frac{\pi(s)}{1-b}$

よって

$\pi(s)=\Pi_{D/M/s}(1-b)$ ・・・・(20)

これを式(18)に代入すると

$\pi(k)=\Pi_{D/M/s}(1-b)b^{k-s}$ 　ただし $k{\ge}s$ ・・・・(21)

をいうことが出来ます。

それにしても、まだ[tex:0{\le}k