クローズド待ち行列ネットワークの到着定理（２）

$\frac{p\left(\vec{k(j:+1)}\right)}{p\left(\vec{k(i:+1)}\right)}=\frac{\min(k_i+1,m_i)m_ju_j}{\min(k_j+1,m_j)m_iu_i}$ ・・・・(7)

では状態 $\vec{k(j:+1)}$ と $\vec{k(i:+1)}$ を考えていますが、この２つの状態でのジョブの数は同じです。ここでちょっと、ネットワーク全体のジョブの数について注意を払っておきましょう。状態 $\vec{k}$ の時のネットワーク全体のジョブ数を $w-1$ とします。つまり

$\Bigsum_{j=1}^Nk_j=w-1$ ・・・・(8)

です。こうすると状態 $\vec{k(j:+1)}$ と $\vec{k(i:+1)}$ ではネットワーク全体のジョブ数は $w$ となります。クローズド待ち行列ネットワークではネットワーク全体のジョブ数は変化しないので、状態 $\vec{k(j:+1)}$ と $\vec{k(i:+1)}$ は相互に遷移しあいますが、状態 $\vec{k(j:+1)}$ と $\vec{k(i:+1)}$ は状態 $\vec{k}$ に遷移することはありません。これらはネットワーク全体のジョブ数が異なる状態です。そこで、ネットワーク全体のジョブ数が $w$ の時の定常状態確率は $p()$ で表し、ネットワーク全体のジョブ数が $w-1$ の時の定常状態確率は $P()$ で表すことにします。

さて、状態 $\vec{k(q:+1)}$ から状態 $\vec{k(1:+1)}$ への遷移を考えます。この遷移は、ネットワーク全体にジョブが $w$ 個ある場合において、ジョブがステーション $q$ から出発してステーション1に到着する遷移を表しています。この時、この到着するジョブは（ネットワークから自分を除いて、）状態 $\vec~k$ のネットワークを見ることになります。
時間 $dt$ の間の状態 $\vec{k(q:+1)}$ から状態 $\vec{k(1:+1)}$ への遷移の確率は

$\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p\left(\vec{k(q:+1)}\right)dt$ ・・・・(9)

となります。

今度は状態 $\vec{k}$ に比べてステーション $q$ のジョブ数が１個多く、ステーション $i$ のジョブ数が１個少ない状態を考え、これを $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ で表します。次に、状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ に比べてステーション1だけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec{k(1:+1,i:-1.q:+1)}$ で表します。また、状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ に比べてステーション $q$ だけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec{k(i:-1,q:+2)}$ で表します。状態 $\vec{k(i:-1,q:+2)}$ から状態 $\vec{k(1:+1,i:-1.q:+1)}$ への遷移は、ネットワーク全体にジョブが $w$ 個ある場合において、ジョブがステーション $q$ から出発してステーション1に到着するもうひとつの遷移を表しています。この時、この到着するジョブは（ネットワークから自分を除いて、）状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ のネットワークを見ることになります。時間 $dt$ の間の状態 $\vec{k(i:-1,q:+2)}$ から状態 $\vec{k(1:+1,i:-1.q:+1)}$ への遷移の確率は