昔の痛い思い出が教える・・・・（３） - 工場統計力学（建設中！）

「昔の痛い思い出が教える・・・・（２）」の続きです。
このような問題を解消するために

を用いて $p(0)$ の近似値を求める方法が考えられます。式(1)

を用いれば式(14)は

となるので、

となります。ここで $\Pi(M/M/s)$ の近似式(6)

を用いれば式(16)は

$p(0){\approx}\frac{1-u^{\sqrt{2(s+1)}-1}}{\Bigsum_{k=0}^s\frac{(su)^k}{k!}}$ ・・・・(17)

となります。式(17)から導かれる $p(0)$ の値は式(2)

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)

で求めた $p(0)$ の値に近い値になります。しかし、式(17)を計算する労力を許すのであれば、式(2)を計算する労力も許されてしかるべきです。両者の計算の面倒さはほとんど変わりありません。よって式(17)を使う理由はありません。結局このことは
[tex:k

であり、 $p(0)$ には式(2)を用いるしかないことを示しています。式(2)を計算する労力を許すのであれば、 $\Pi(M/M/s)$ についても

$\Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

を計算する労力を許すことになり、結局、 $\Pi(M/M/s)$ の近似式(6)を用いる理由はなくなってしまいます。よって結論は

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi(M/M/s)$ ・・・・(3)
- ただし
  - $b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(4)
  - $\Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

であり、これをより簡略化することは出来ない、という結論になります。もし、 $k{\ge}s$ の場合の $p(k)$ の近似式を考えるのであれば

という近似式も利用価値があります。しかし[tex:k