Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３３）

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5.2.2.　システム内個数 $N$
　私の $c_N^2$ の近似手法は $E(N^2)$ の予備的近似から始まる。つまり、

$E(N^2)\approx{S}(\rho,c_a^2,c_s^2,m)\equiv{P}(Q(\rho,c_a^2,c_s^2,m)>0)(m^2+2mEC+E(C^2))$

$+P(Q(\rho,c_a^2,c_s^2,m)=0)(\min\{m^2,(\rho{m})^2+\rho{m}z\})$ ・・・・(5.9)

ただし $P(Q(\rho,c_a^2,c_s^2,m)>0)$ はセクション5.1の $EC=(EQ)/P(Q>0)$ より求められ、 $E(C^2)=(c_C^2+1)(EC)^2$ の $c_C^2$ はセクション5.2.1から求められ、(3.8)にあるように $z=(c_a^2+c_s^2)/(1+c_s^2)$ である。公式(5.9)は、 $P(Q>0)$ が１かゼロに近い時に通常良好である近似の凸結合である。具体的には、 $P(Q>0)\approx{1}$ ならば $N\approx{m}+C$ であり、 $EN^2\approx{E}((m+C)^2)=m^2+2mEC+EC^2$ である。反対に、 $P(Q>0)\approx{0}$ は有限サーバモデルは無限サーバモデルによってよく近似出来ることを意味するので、 $GI/G/\infty$ モデルについての(3.5)の重負荷近似を用いる。よって、 $N$ は近似的に(3.8)の $z$ について $N(\rho{m},\rho{mz})$ のように分布しているとみなすので、 $E(N^2)\approx(\rho{m})^2+\rho{mz}$ である。最小値は主に小さな $m$ についての修正として導入される。 $Q=0$ とすると $N{\le}m$ なので $N^2{\le}m^2$ 。大きな $m$ については、 $(\rho{m})^2+\rho{mz}$ は通常 $m^2$ より小さいが、しばしば小さな $m$ 、たとえば $m=1$ 、についてはそうでない。
　 $c_N^2$ についての実際の近似式を $M/M/m$ の正確な値と(5.9)を含む比を用いて得る。具体的には

$c_N^2(\rho,c_a^2,c_s^2,m)+1\approx\frac{EN^2(M/M/m)S(\rho,c_a^2,c_s^2,m)}{[EN(\rho,c_a^2,c_s^2,m)]^2S(\rho,1,1,m)}$ ・・・・(5.10)

ただし $EN^2(M/M/m)=(c_N^2(M/M/m)+1)(EN(M/M/m))^2$ は $M/M/m$ の正確な値

$c_N^2(M/M/m)=\frac{\rho{m}(1+\delta)+(1-\rho)^{-2}(\delta\rho+\delta(1-\delta)\rho^2)}{[\rho{m}+(1-\rho)^{-1}\delta\rho]^2}$ ・・・・(5.11)

であり［HalfinとWhitt 1981、公式(1.8)］、 $\delta\equiv{P}(N{\ge}m)$ はアーランＣ公式(2.3)である。(5.10)で $S(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ は(5.9)で与えられ、

$S(\rho,1,1,m)=\rho\delta\left(m^2+2m\frac{EQ}{\rho\delta}+\frac{E(Q^2)}{\rho\delta}\right)$

$+(1-\rho\delta)(\min\{m^2,(\rho{m})^2+\rho{m}\})$

$=\rho\delta{m}^2+2m\delta\rho(1-\rho)^{-1}+(1+\rho)(\delta\rho)(1-\rho)^{-2}$

$+(1-\rho\delta)(\min\{m^2,(\rho{m})^2+\rho{m}\})$ ・・・・(5.12)

で(2.5)でのように $EQ\equiv{E}Q(\rho,1,1,m)=\delta\rho/(1-\rho)$ であり $E(Q^2)\equiv{E}(Q^2)(\rho,1,1,m)=(EQ)^2(c_Q^2+1)$ で上述のように $EQ=\delta\rho/(1-\rho)$ であり(5.6)で決定されるように $c_Q^2\equiv{c}_Q^2(\rho,1,1,m)=(\rho+1-\rho\delta)/\rho\delta$ である。
　最後に、 $E(N^2)(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ を(5.9)から直接にではなく、(5.3)と(5.10)を組合わせることによって得る。