Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３５）

原文は

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5.3.　待ち行列長分布
　ここでは待ち行列分布の近似を開発する。近似手続きはセクション4.1の待ち分布のための手続きの離散版である。具体的には、すでに開発された近似、セクション5.1での $P(Q>0)$ 、セクション5.2.1での $EC=\max\{1,EQ/P(Q>0)\}$ と $c_C^2$ の近似を用いて $P(Q=k)$ に離散分布を合わせる。近似分布は0でかたまり $P(Q=0)$ を持つ。 $k>0$ の時、 $P(Q=k)=P(Q>0)P(C=k)$ と置く。このセクションの残りは $C$ の分布を正の整数上で近似することに充てる。
　KlincewiczとWhitt (1984)で行ったように、幾何分布を構成要素として用いる。それらは指数分布の離散版である。正の整数上でと非負の整数上で幾何分布を用いる。正の整数{1,2,3,....}上での幾何確率関数(PMF : Probability Mass Function)は

$f(k)=p(1-p)^{k-1}$ 、 $k{\ge}1$ ・・・・(5.13)

であり、裾野確率は

$1-F(k)=(1-p)^k$ ・・・・(5.14)

であり、平均 $1/p$ 、分散 $(1-p)/p^2$ 、 $c^2=1-p$ である。非負の整数上の幾何確率関数は

$f(k)=p(1-p)^k$ 、 $k{\ge}0$ ・・・・(5.15)

であり、裾野確率は

$1-F(k)=(1-p)^{k+1}$ 、 $k{\ge}0$ ・・・・(5.16)

で、平均 $(1-p)/p$ 、分散 $(1-p)/p^2$ 、 $c^2=1/(1-p)$ である。単一のパラメータ $p$ は両方の幾何分布を特徴付ける。
　 $P(C=k)$ の場合、４つのケースがある。
　ケース１　 $c_C^2>1-(EC)^{-1}+0.02$
　 $C$ がバランスのとれた平均を持つ正の整数上の２つの幾何分布の混合として分布するとし、３つのパラメータ $p_1$ 、 $p_2$ 、 $\gamma$ は $EC$ と $c_C^2$ に合い、かつバランスのとれた平均を持つように選択されるとする。つまり、

$P(C=k)=\gamma{p}_1(1-p_1)^{k-1}+(1-\gamma)p_2(1-p_2)^{k-1}$ 、 $k{\ge}1$

$P(C>k)=\gamma(1-p_1)^k+(1-\gamma)(1-p_2)^k$ ・・・・(5.17)

ただし、 $p_1=m_1^{-1}>p_2=m_2^{-1}$ 、 $(EC)/2=\gamma{m}_1=(1-\gamma)m_2$ 、で

$\gamma=[1+(1-2[c^2+1+(EC)^{-1}]^{-1})^{1/2}]/2$ ・・・・(5.18)

(5.18)の $\gamma$ は、 $c^2>(EC-1)$ とした場合の間隔 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内の解であることに注意しよう。しかし、 $EC$ が比較的小さい場合、あるいは $EC<2$ の場合、 $p_1=2\gamma/EC>1$ であることが可能である。もしこの計算で $p_1>1$ ならば、ケース２にスキップし単純な幾何分布を用いる。
　ケース２　 $|c_C^2-1+(EC)^{-1}|{\le}0.02$
　(5.13)で $p=1/EC$ であるような幾何分布を $P(C=k)$ が持つとする。この場合 $c^2=(EC-1)/EC$ であり、よって $c_C^2$ とかなり一致する。
　ケース３　 $[(EC)^2-1\$ /2(EC)^2畳み込みとして分布しているとする。その最初のものは非負の整数上であり平均は $m_1=(1-p_1)/p_1{\ge}0$ であり、２番目のものは正の整数上であり平均は $m_2=p_2^{-1}{\ge}1$ である。畳み込みの定義域が $\{k:k{\ge}2\}$ になってしまうので、(5.13)のような正の整数上の２つの幾何分布を用いてはならない。同様に、非負の整数上の２つの幾何分布を用いてはならない。というのは畳み込みの定義域が $\{k:k{\ge}0\}$ になってしまうからである。よって、両方を用いる。
　新しい近似分布の確率関数と裾野確率を

$P(C=k)=\Bigsum_{j=0}^{k-1}p_1(1-p_1)^jp_2(1-p_2)^{k-j-1}$ 、 $k{\ge}1$

$P(C>k)=1-\Bigsum_{j=0}^kP(C=j)$ ・・・・(5.19)

とする。ただし、 $x=EC$ で $c^2=c_C^2$ として、コンポーネント分布の平均は、

$m_1=((x-1)-[(x-1)^2-2x^2(1-c^2-x^{-1})]^{1/2})/2$

$m_2=((x+1)+[(x-1)^2-2x^2(1-c^2-x^{-1})]^{1/2})/2$ ・・・・(5.20)

よって、 $p_1=(m_1+1)^{-1}$ で $p_2=m_2^{-1}$ 。 $(x-1)^2-2x^2(1-c^2-x^{-1})$ が非負であるために、 $(x^2-1)/2x^2{\le}c^2{\le}1-x^{-1}$ でなければならず、これは指定される領域を決定する。
　例３　ケース３の手続きをここに示す。もし $EC=4$ で $c_C^2=0.50$ ならば、(5.20)は $m_1=1$ と $m_2=3$ をもたらし、よって $p_1=1/2$ で $p_2=1/3$ で対応する分散は期待するように $(1-p_1)/p_1^2+(1-p_2)/p_2^2=2+6=8$ である。
　ケース４　 $c_C^2{\le}[(EC)^2-1]/2(EC)^2$
　この場合、あたかも $c_C^2=[(EC)^2-1]2(EC)^2$ であるかのように見なしケース３を適用する。具体的には $p_1=(m_1+1)^{-1}=p_2=m_2^{-1}$ として(5.19)を用いる。ただし $m_1=(EC-1)/2$ で $m_2=(EC+1)/2$ である。