平均待ち行列長の近似式の精度比較（５）

待ち行列理論

「平均待ち行列長の近似式の精度比較（４）」の続きです。
ところで

  • \Pi(GI/M/1)=b・・・・(14)

です。これを証明します。「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」
の式(17)（ここでは番号を振りなおして式(15)とします）は

  • p(k)=ub^{k-s-1}(1-b)\Pi(GI/M/s)　ただしk{\ge}s・・・・(15)

でした。ここでp(k)は時間平均でみた、待ち行列システムにジョブがk個存在する確率です。また、uは装置の稼働率です。式(15)でs=1と置くと

  • p(k)=ub^{k-2}(1-b)\Pi(GI/M/1)　ただしk{\ge}1・・・・(16)

となります。ここで

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)

を計算しますと

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}ub^{k-2}(1-b)\Pi(GI/M/1)
    • =ub^{-1}(1-b)\Pi(GI/M/1)\Bigsum_{k=1}^{\infty}b^{k-1}=ub^{-1}(1-b)\Pi(GI/M/1)\Bigsum_{k=0}^{\infty}b^k
    • =ub^{-1}(1-b)\Pi(GI/M/1)\frac{1}{1-b}=\frac{u}{b}\Pi(GI/M/1)

よって

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=\frac{u}{b}\Pi(GI/M/1)・・・・(17)

となります。ところで式(17)の左辺は、s=1であることを考慮すると、装置が処理中である確率に等しいことが分かります。つまり

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=u・・・・(18)

です。式(17)(18)から

  • u=\frac{u}{b}\Pi(GI/M/1)

よって

  • 1=\frac{1}{b}\Pi(GI/M1)

となり

  • \Pi(GI/M/1)=b・・・・(14)

が証明出来ました。