【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（４）

正直なところ、ここからは私は理解出来ないのですが、まずは訳すだけ訳してみます。

3　待ち行列理論における根
生成関数の手法を適用する際に重要なことはある与えられた方程式の根の調査であり、通常これらの根は明示的な表現を持たない。Crommelin (1932)とPollaczek (1930b)はそのような根の存在を証明するのにRoucheの定理を使用した。我々は単位円盤内の
$z^s=A(z)$ 　　　　　(10)
の根を考慮する。ただし $A(z)$ は離散確率変数 $A$ の確率生成関数であり、 $A(0)>0$ 、 $\rho=A'(1)/s<1$ で、 $s\in\bold{N}$ である。
Roucheの理論を適用するために $A(z)$ は１より大きい収束の半径を持つことが要求されるが、それは一般に真ではない。Crommelinにとってこれは明らかに問題ではなかった。というのは $A(z)=\exp\left(\lambda(z-1)\right)$ は整関数だからである。問題は、離散パレート分布やHaightのゼータ分布のように $A(z)$ が長い裾野の分布を持つ確率変数（ $A(z)$ が $z=1$ で非解析的になる）の確率生成関数である時に発生する。Adan他(2006)を参照。
級数 $\Bigsum_{-\infty}^{\infty}$ の周期 $\nu$ を $j$ が $\nu$ で割れないの時はいつも $b_j=0$ であるような最大の整数として定義する。Adan他(2006)では以下の結果が証明された。

定理3.1　 $z^s-A(z)$ が周期 $\nu$ を持つとする。すると $z^s=A(z)$ は単位円の上に $\nu$ 個の根を持ち、 $|z|<1$ で正確に $s-\nu$ がゼロになる。

このセクションの残りは(10)の根の明示的な式を扱う。全ての結果はJanssenとvan Leeuwaarden (2005a,b)に由来する。最初に $z^s=A(z)$ の全ての根は曲線
$S_{A,s}=\left\{z\in{\bold{C}\;\left|\;|z|{\le}1,|A(z)|=|z|^s\right\}$
の上に載っていることに注意する。

条件3.2　 $S_{A,s}$ は内部に0を持つジョルダン曲線であり、 $A(z)$ は $S_{A,s}$ の上と内部でゼロではない。

$C_{z_j}[f(z)]$ が $f(z)$ における $z^j$ の係数を示すとしよう。我々は以下の結果を証明した。

定理3.3　条件3.2が満足されるならば、パラメータ表示(?)
$S_{A,s}=\left\{\tilde{z}(e^{i\alpha})\;\left|\;\alpha\in[0,2\pi]\right\}$
を持つ。ただし
$\tilde{z}(w)=\Bigsum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l}C_{z^{l-1}}\left[A^{l/s}(z)\right]w^l$ 　　　　 (11)
で、1より大きい収束の半径を持つ階乗級数である(?)。

定理3.3はよって、条件3.2のもとでは、単位円盤内の(10)の根は明示的な式 $z_k=\tilde{z}(w_k)$ 、 $k=$ 0,1,…, $s-1$ を持つことを意味する。ただし $w_k=\exp(2\pi{k}/s)$ 。反例を構成することは出来るが、大部分の関数 $A(z)$ は条件3.2を満足する（van Leeuwaarden 2005, p.57を参照）。ポアソンの場合 $A(z)=exp(\lambda(z-1))$ で[tex:0{\le}\lambda