1個のニューロンの学習(7)
について考えます。はの時に不正解であったパターンなので、もしであれば。よって「1個のニューロンの学習(5)」の式(13)
- ・・・・(13)
から
よって
ここでなので。よって。よって
となります。逆にであれば。よって式(13)から
ここでなので。よって。よって
となります。よっての値に関わらず
- ・・・・(21)
となります。
ここで
を計算します。ただしベクトルの2乗は、自分自身との内積
つまりの長さを意味するものとします。または任意の定数とします。「1個のニューロンの学習(6)」の式(20)
- ・・・・(20)
を用いると
よって
-
- ・・・・(22)
式(21)(22)とから
- ・・・・(23)
式(23)の左辺はとの差の長さの2乗であり、右辺の第1項はとの差の長さの2乗です。との差の長さの2乗のほうがの差の長さの2乗より小さいことを示すことが出来れば、ニューロンがを変化させるたびにがに近づくことが言え、最終的に学習が完了出来ることの証明に一歩近づきます。そのためには
- ・・・・(24)
がの値に関わらず負であることを言わなければなりません。そこで、はのいずれかであることに注意して、のうち最も大きなものをで表すことにします。つまり
- ・・・・(25)
です。そうすると当然
- ・・・・(26)
になります。また、のうち最も小さなものをで表すことにします。つまり
- ・・・・(27)
です。そうすると当然
- ・・・・(28)
になります。よって
- ・・・・(29)
になります。