ガボールフィルター - 工場統計力学（建設中！）

今、網膜に映る画像のことを考えていますので、２次元のガボールフィルターを考察します。画像を構成する点の位置を $(x,y)$ で表すことにますが、これをまとめてベクトルと考えて２次元の位置ベクトル $\vec{x}$ で表すことにします。するとガボールフィルターは以下の式で表されます。

$F(\vec{x})=G(\vec{x},\sigma)\cos(\vec{k}\cdot\vec{x}+\phi)$

ここで、 $G(\vec{x},\sigma)$ は２次元のガウス分布で、 $x$ 座標の平均は0、 $y$ 座標の平均も0、 $x$ 座標の標準偏差も $y$ 座標の標準偏差も $\sigma$ であるような分布です。また、 $\vec{k}$ はある固定のベクトルで、 $\phi$ は定数です。

まず、 $\vec{k}\cdot\vec{x}$ の意味を調べてみます。これはベクトル $\vec{k}$ と直交する線上においては一定の値を取ります。

つまり、上図において直線 $L$ 上の点をベクトル $\vec{x}$ で表すと、この線上では $\cos{\theta$ が常に一定になります。よって、 $\vec{k}$ の大きさを $K$ 、 $\vec{x}$ の大きさを $X$ で表すと $KX\cos\theta$ が一定ということになります。よって $\vec{k}\cdot\vec{x}$ が一定となることになります。
次に位置ベクトル $\vec{x}$ がベクトル $\vec{k}$ と同じ方向を向いているとすると $\vec{k}\cdot\vec{x}=KX$ になります。よって、 $\cos(\vec{k}\cdot\vec{x})=\cos(KX)$ となります。これは波長 $2\pi/K$ の正弦波（厳密に呼べば「余弦波」と呼ぶべきですが）になります。
以上のことから $\cos(\vec{k}\cdot\vec{x})$ は、ベクトル $\vec{k}$ の方向に見ると正弦波で、それと垂直の方向に見ると一定値になるような波になります。これを図示すると以下のようになります。

あと、 $\phi$ を含めて考えると $\cos(\vec{k}\cdot\vec{x}+\phi)$ は、単に $\cos(\vec{k}\cdot\vec{x})$ をベクトル $\vec{k}$ と反対方向に $\phi/K$ だけずらしたものになっていることが分かります。

一方、 $G(\vec{x},\sigma)$ は座標(0,0)を中心をする同心円上で等しい値をとるガウス分布です。これは以下の図のようになります。

よって、 $G(\vec{x},\sigma)$ と $\cos(\vec{k}\cdot\vec{x})$ を掛け合わせた $F(\vec{x})$ は、(0,0)付近だけが波がはっきり分かるような図形になります。

$F(\vec{x})$ の値を濃淡で表すと以下のようになります。

これは、座標(0,0)を中心とするガボールフィルターですが、一般の位置を中心とするガボールフィルターも考えることが出来ます。中心位置を $\vec{x_0}$ で表すならば、そのようなガボールフィルターの式は

$F(\vec{x})=G(\vec{x}-\vec{x_0},\sigma)\cos(\vec{k}\cdot\vec{x}+\theta)$

となります。
ガボールフィルターには、局所性、方向性、周波数特性、の３つの特性を持っています。

局所性というのは、 $F(\vec{x})$ の絶対値が大きい領域は、ある点の周辺に限られるということです。上の式では $\vec{x_0}$ の周辺に限られています。
方向性とは、 $F(\vec{x})$ の値の大きい場所、あるは小さい場所が、ある方向に並んでいるということです。上の式では $\vec{k}$ と垂直方向に並んでいます。
周波数特性とは、 $F(\vec{x})$ がある一定の空間周波数を持っているということです。上の式では $\vec{k}$ の大きさが空間周波数を決めています。

そしてこのような特性は、脳におけるV1（一次視覚野）にある単純細胞の受容野にそのまま当てはまる、ということです。