線形代数学の復習：実対称行列は対角化可能である（２）

実対称行列の固有値は全て実数である。
（証明）

$A$ が実対称行列であるとします。 $\alpha$ を $A$ の固有値とします。すると固有値の定義から $Ax=\alpha{x}$ となるようなゼロベクトルでない固有ベクトル $x$ が存在することになります。ただし、まだここでは、 $x$ が実ベクトルであるとは言えません。
ベクトルとの内積を
- $(x,y)=x^T\bar{y}$
で定義します。ただしはの転置を、はの複素共役を表します。すると
- $(Ax,x)=(\alpha{x},x)=\alpha(x,x)$ ・・・・(1)
となります。一方
- $(Ax,x)=(Ax)^T\bar{x}=x^TA^T\bar{x}$ ・・・・(2)
となります。ここでは対称行列なのでです。さらに実行列なのでです。よって(2)の右辺は
- $x^TA^T\bar{x}=x^T\bar{(Ax)}=x^T\bar{(\alpha{x})}=\bar{\alpha}x^T\bar{x}=\bar{\alpha}(x,x)$ ・・・・(3)
となります。(1)(2)(3)から
- $\alpha(x,x)=\bar{\alpha}(x,x)$ ・・・・(4)
となります。の定義からならばです。そしては固有ベクトルなのでです。よってとなります。よって(4)から
- $\alpha=\bar{\alpha}$
となります。よって、固有値 $\alpha$ は実数であることになります。よって、実対称行列の固有値は全て実数であることが証明されました。