Ｍ／Ｍ／ｍの状態確率分布の様子

ファブ内物流の論理を求めて
  • Ｍ／Ｍ／ｍの待ち行列内に（待っているジョブと処理中のジョブの両方を数えて）n個のジョブがある確率（＝状態確率分布）を求める式は、待ち行列の教科書では以下のように書けると書いてあります。
    • 0\le{n}\le{m}ならば
      • p_n=p_0m^nu^n\frac{1}{n!}・・・・（１）
    • n\ge{m}ならば
      • p_n=p_0\frac{m^mu^n}{m!}・・・・（２）
    • ただし
      • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}\right}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}
  • これをグラフ化するとどのようになるかの一例を、以下に示します。
  • ｍ＝５、つまり装置群は５台の同等の装置からなる、としました。装置群の利用率を２０％、４０％、６０％、８０％（つまり、u=0.2, 0.4, 0.6, 0.8）になるように装置群へのジョブの量を変えました。
    • 利用率２０％の場合
        • もし、利用率が２０％で、ジョブ到着間隔にも装置処理時間にもまったく変動のない場合、つまりジョブが等間隔で装置群に到着し、装置処理時間も一定であるならば、装置群の利用率が２０％ですから、常に５台×２０％＝１台の装置が処理中になっているはずです。そうであれば、上のグラフで横軸が１のところだけが１（＝１００％）の確率であり、その他は確率０になるはずです。しかし、この場合はジョブ到着間隔にも装置処理時間にもかなり変動があるので、ジョブの個数が０の場合、１の場合、２の場合などにバラけているのが分かります。
    • 利用率４０％の場合
        • ジョブ到着間隔にも装置処理時間にもまったく変動がないならば、常に５台×４０％＝２台の装置が処理中になるところです。このグラフでもジョブ数２のあたりがピークになっています。
    • 利用率６０％の場合
        • ジョブ到着間隔にも装置処理時間にもまったく変動がないならば、常に５台×６０％＝３台の装置が処理中になるところです。このグラフでもジョブ数３のあたりがピークになっています。しかし、分布は利用率４０％の時よりもより広がっています。
    • 利用率８０％の場合
        • 利用率が１００％に近くなると、待ち（ジョブ数６以上）の確率が急速に増えていくと同時に分布の範囲がより広がっていきます。
  • たとえばＭ／Ｄ／５では上記のグラフがどう変化するのか、知りたいところですが、私にはまだ求め方が分かりません。