待ち行列の考察における装置モデルの改善 - 工場統計力学（建設中！）

Kingmanの近似式とその拡張で、ステーション前のジョブの待ち時間を推定する式を紹介しました。

$CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u^{sqrt{2(m+1)}-1}}{m(1-u)}t_e$ ・・・・（１）

しかし、この式のもとになっている待ち行列のモデル

における製造装置の考え方は非常に単純化されたものであり、ジョブは製造装置で一度に１個処理され、その間には別のジョブは製造装置が空くのを待つことになります。しかし、ちょっと複雑な装置の場合、前のジョブの処理が完了する前に次のジョブの処理が開始になる（処理時間がオーバラップする）ケースがあることと思います。

図１：処理時間にオーバーラップがある場合

この場合、利用率 $u$ や装置の平均処理時間 $t_e$ をどのように考えたらよいでしょうか？
そこで、処理をオーバーラップ出来るような装置モデルの一例として下図のようなモデルを考え、考察を進めてみます。

図２：タクト時間を導入した装置モデル

上図に示すように、この装置のモデルはｎ個の処理部から成ります。それぞれの処理部は一度に１個のジョブを処理することが出来ます。そして

先頭の処理部である処理部１の処理時間が他の処理部の処理時間より常に長い

という条件をつけます。のちに判明するようにこのような条件をつけることで、考察がずっと簡単になります。上記の条件から、処理部１がこの装置におけるボトルネックになり、処理部１のキャパシティがこの装置のキャパシティになります。

- 上記の条件は、処理部１がボトルネックになる充分条件ですが、必要条件ではありません。必要充分条件は
  - 処理部１の「平均」処理時間が他の処理部の「平均」処理時間より長い
- です。

また、処理部１の処理時間が、あるジョブの処理が開始されてから次のジョブの処理が開始可能になるまでの時間、つまりタクト時間になります。

図３：装置のタクト時間

常に装置の前に待っているジョブが存在するならば図３のようになるでしょう。装置が次のジョブの処理を開始するのが可能になっても装置の前にジョブが待っていないのであれば、下図のようにジョブとジョブの間隔がタクト時間より長くなることでしょう。

図４：タクト時間より長いジョブ間隔

さて装置モデルの図に戻ります。

図２：タクト時間を導入した装置モデル

この場合、処理部１からジョブが出て行く間隔は処理部１の処理時間かそれ以上（処理部１からジョブが出て行ってから、次のジョブが到着した場合）であり、それは処理部２以降の処理時間より大きいので、処理部２以降でジョブが処理部が空くのを待つことはありません。よって処理部２以降を通るのにジョブがついやす時間は処理部２以降の処理時間の合計になります。このようなモデルを考えた場合、処理部１について待ち行列を考えれば充分なことは上の図２から明らかだと思います。
よって、このようなモデルで近似できるような装置の場合、処理部１の処理時間と利用率と処理時間の変動係数を $t_e$ と $u$ と $c_e$ として式

$CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u^{sqrt{2(m+1)}-1}}{m(1-u)}t_e$

に代入すればよいことが分かります。つまり、このような装置の場合、ジョブが装置内に滞在している時間を処理時間と考えたり（図２の「処理時間」）、装置内で少なくとも１ジョブでも処理している時間を全て処理時間として集計して利用率を計算してしまうと、実際より長い待ち時間を算出することになってしまうということが分かります。
以上で図２の装置モデルの考察は終わりますが、次の問題は、どのような装置がこのようなモデルで近似可能であるか、ということです。これについては、まだ、私の検討が進んでおりません。

タクト装置のモデルの検討につづきます。
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