ロットサイズとCeの関係（セットアップを考慮しない場合）

「ロットサイズとキュー時間の関係」での議論を受けて、セットアップを考慮しない場合の、ロットサイズと装置処理時間の変動係数の関係を調べます。
- この装置処理時間をタクト時間と考えてよいことについては「ロットサイズとteの関係（セットアップを考慮しない場合）」での議論を参照して下さい。以下、装置処理時間をタクト時間として議論を進めます。

簡単な例

ロットサイズ（＝バッチサイズ）が１ウェハの場合と２ウェハの場合を考察するとします。また、１ウェハあたりのタクト時間は１分か２分のどちらかであるとします。そしてタクト時間が１分である確率が５０％、２分である確率が５０％とします。
- この例は、次のように解釈することも出来ます。タクト時間は１分であるが、故障が処理１回につき５０％の確率で発生し、その故障が解消されるのに１分かかる、とします。そうすると、故障まで考慮して処理開始から完了までに時間をタクト時間と考えると、５０％の確率で１分、５０％の確率で２分、となります。
ロットサイズを１ウェハとすると、１ロットあたりのタクト時間とその発生頻度は、
- １分　５０％
- ２分　５０％
となります。ここから、平均と標準偏差を計算すると
- 平均：１．５分
- 標準偏差：０．５分
となります。よって、この場合のロットのタクト時間の変動係数は
- 変動係数 $c_e$ ：０．３３３
となります。次に、ロットサイズを２ウェハとした場合を考えます。このときの１ロットあたりのタクト時間とその発生頻度は
- １枚目のウェハが１分、２枚目のウェハも１分　で計２分　２５％
- １枚目のウェハが１分、２枚目のウェハが２分　で計３分　２５％
- １枚目のウェハが２分、２枚目のウェハが１分　で計３分　２５％
- １枚目のウェハが２分、２枚目のウェハも２分　で計４分　２５％
となります。ここから、平均と標準偏差を計算すると
- 平均：３分
- 標準偏差：０．７０７分
となります。よって、この場合のロットのタクト時間の変動係数は
- 変動係数 $c_e$ ：０．２３６
となります。つまり、ロットサイズが２から１に半分にすると、タクト時間の変動係数は
- ０．３３３／０．２３６＝１．４１４
１．４１４倍に増えることがわかります。よってロットサイズが小さいとタクト時間の変動係数 $c_e$ は増えることになります。

もう少し数学的に

各ウェハを処理するタクト時間を同一の確率分布を持つ独立な確率変数と考えることが出来るならば、上の問題は、同一の確率分布を持つ独立な複数の確率変数の和の変動係数を求める問題になります。この問題の結論は、同一の確率分布を持つ独立な確率変数を $k$ 個足した変数の変動係数は、もとの確率変数の変動係数の1／ $sqrt{k}$ になるというものです。
- これの証明については「同一の確率分布を持つ独立な複数の確率変数の和の変動係数」を参照下さい。
これを応用すれば、ウェハ１枚を処理するタクト時間の変動係数を、ロットサイズを、ロットのタクト時間の変動係数をとすると
- $c_e=\frac{1}{sqrt{k}}c_{eW}$
となることが導かれます。これでロットサイズと $c_e$ の関係が明らかになりました。

議論の継続

この結果は、「ロットサイズとキュー時間の関係（セットアップを考慮しない場合）」で利用されます。