同一の確率分布を持つ独立な複数の確率変数の和の変動係数

「ロットサイズとCeの関係（セットアップを考慮しない場合）」で証明をせずに用いた
- 同一の確率分布を持つ独立な確率変数を $k$ 個足した変数の変動係数は、もとの確率変数の変動係数の1／ $sqrt{k}$ になる
ということについて、証明を以下に示します。

証明

同一の確率分布を持つ個の確率変数をとします。次に、これらの確率変数の和をすると
- $S=\Bigsum_{i=1}^{k}{X_i}$
となります。の平均をで表わすと
- $E(S)=E(\Bigsum_{i=1}^{k}{X_i})=\Bigsum_{i=1}^{k}{E(X_i)}$
しかし、はすべて同一の平均値を持つので
- $E(S)=\Bigsum_{i=1}^{k}{E(X_i)}=\Bigsum_{i=1}^{k}{E(X)}=kE(X)$
となります。次に和の標準偏差は
- [tex:STD(S)=sqrt{E*1^2)}]
ここで
- $S-E(S)=\Bigsum_{i=1}^{k}{X_i}-kE(X)=\Bigsum_{i=1}^{k}(X_i-E(X))$
よって
- - $=\Bigsum_{i=1}^{k}(X_i-E(X))^2+\Bigsum_{i=1}^{k}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{k}(X_i-E(X))(X_j-E(X))$
よって
- [tex:E*2^2)=E\left(\Bigsum_{i=1}^{k}(X_i-E(X))^2+\Bigsum_{i=1}^{k}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{k}(X_i-E(X))(X_j-E(X))\right)]
  - [tex:=\Bigsum_{i=1}^{k}E*3^2)+\Bigsum_{i=1}^{k}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{k}E*4(X_j-E(X))]
ここでならばとは独立なので、
- [tex:E*5(X_j-E(X))=E((X_i-E(X)))E((X_j-E(X)))]
  - $=(E(X_i)-E(X))(E(X_j)-E(X))=(E(X)-E(X))(E(X)-E(X))=0$
よって
- [tex:E*6^2)=\Bigsum_{i=1}^{k}E*7^2)=\Bigsum_{i=1}^{k}(STD(X_i))^2)]
  - $=\Bigsum_{i=1}^{k}(STD(X))^2)=k(STD(X))^2)$
よって
- [tex:STD(S)=sqrt{E*8^2)}=sqrt{k}STD(X)]
となることが分かります。
よっての変動係数をで表わすと
- $C(S)=\frac{STD(S)}{E(S)}=\frac{sqrt{k}STD(X)}{kE(X)}=\frac{STD(X)}{sqrt{k}E(X)}=\frac{C(X)}{sqrt{k}}$
よって、同一の確率分布を持つ独立な個の確率変数の和の変動係数はもとの確率変数の変動係数の
- $\frac{1}{sqrt{k}}$
になります。

（証明おわり）

*1:S-E(S

*2:S-E(S

*3:X_i-E(X

*4:X_i-E(X

*5:X_i-E(X

*6:S-E(S

*7:X_i-E(X

*8:S-E(S