装置処理時間が一定ならばトラップされたロットはない（２）

「装置処理時間が一定ならばトラップされたロットはない（１）」のつづきです。

Ｇ／Ｄ／ｍのロードポートあり、搬送時間なし、のモデルではトラップされたロットは存在しない

ということを証明しようと、あれこれ考えているのですが、そのうちに、

共用バッファにまったくロットがなかった場合に、到着したロットが装置を選択するルールである

(1)到着したロットを、ステーションにある専用バッファ内で最も待ちロット数の少ないバッファに対応する装置に割り当てる。
(2)もし、最も待ちロット数の少ない装置が複数台存在する場合は、最新の処理終了時刻が最も古い装置を選択する。

（これを「ルール１」と呼ぶことにします。）が、以下のルール

ルール２
- 到着したロットを、ステーションにある専用バッファ内でその専用バッファの最後尾のロットの処理終了時刻が最も早いような専用バッファに対応する装置を選ぶ。

と同等である、ということが証明できれば、その後の証明は比較的簡単なことが分かってきました。
そこで、上記のルール１はルール２と同等である、ということがすでに証明された、と仮定して、その後の証明を記します。

証明の前に、ルール２で、「最後尾のロットの処理終了時刻が最も早いような」と言っていることに注意して下さい。これは、そのロットの処理終了時刻を予め予測出来る、ということを前提にした言い方です。なぜそれが出来るかといえば、そのロットの前に並んでいるロットの各々の処理時間も、そのロット自身の処理時間も一定で、予め分かっていて、誤差の発生などあり得ない（Ｇ／Ｄ／ｍの「Ｄ」）、というふうに仮定しているからです。
もし、まったく待ちロットのない専用バッファがある場合は、最後尾のロットの終了時刻は現在時間、とみなすことにします。
もし、まったく待ちロットのない専用バッファが複数ある場合には、どれを選んでも結果が変わらないので、予め決められた順序に従って専用バッファを選ぶ、ということにします。

（証明）

共用バッファの先頭に並んでいたロットが、専用バッファに移る際に装置を選択する場合も、どれが１つ空きの出来た専用バッファを（よってそれに対応する装置を）選ぶので、これも、「最後尾のロットの処理終了時刻が最も早いような専用バッファに対応する装置を選ぶ」とみなすことが出来る。
よって、共用バッファから専用バッファに移る際と、共用バッファが空でいきなり専用バッファを選ぶ際の２つを一緒に考察する。
まず、「『トラップされている』ということ」で示した図２
のタイプのトラップの有無について
- あるロット（ロットａ）がある装置（装置１）の専用バッファで待っている間に、別の装置（装置２）が空いたと仮定する。この装置２が空いた瞬間を時刻 $t_1$ とする。
- 時刻 $t_1$ の時に装置１の専用バッファで処理中のロットをロットｂとし、装置２で処理の終わったロットをロットｃとする。ロットｂの処理終了時刻を $t_e(b)$ 、ロットｃの処理終了時刻を $t_e(c)$ とする。
- 時刻では既にロットｃの処理が終了しているのにロットｂはまだ処理中なので
  - $t_e(b)>t_e(c)$ 　　（１）
- ロットａが装置１の専用バッファを選択した時刻を $t_2$ とする。
- の時、装置２の専用バッファの最後尾のロットはロットｃである。一方、装置１の専用バッファの最後尾はロットｂである可能性もあるが、それよりあとに専用バッファに入ったロットの可能性もある。の時の装置１の最後尾のロット終了時刻をで表すと、最後尾がロットｂであるならば、そうでなければ。よっていずれにしても
  - $t_e(eq1){\ge}t_e(b)$ 　　（２）
- 一方、の時の装置２の専用バッファの最後尾のロットはロットｃなので、の時の装置１の最後尾のロット終了時刻をで表すと、
  - $t_e(eq2)=t_e(c)$ 　　（３）
- 式（１）（２）（３）から
  - $t_e(eq1)>t_e(eq2)$
- よって時刻 $t_2$ の時、装置２の専用バッファの最後尾のロットの処理終了時刻のほうが、装置１の専用バッファの最後尾のロットの処理終了時刻より早いので、ロットａが装置１を選択するのは矛盾している。
- よって、最初の仮定が間違っている。
- よって、あるロットがある装置の専用バッファで待っている間に、別の装置が空くことはない。
- よって「『トラップされている』ということ」で示した図２のタイプのトラップされたロットはない。
次に、「『トラップされている』ということ」で示した図２ａ
のタイプのトラップの有無について
- 最後尾のロットの処理終了時刻が最も早いような専用バッファに、次のロットが並ぶので、そのバッファの最後尾のロットの処理終了時刻が、装置の処理時間分だけ加算される。
- よって、当該ステーション内の全ての専用バッファの最後尾のロットの処理終了時刻のうちの、最小値をとすると、は次のロットが専用バッファを選択して並ぶたびに増加するか、少なくとも等しい。
  - 等しい場合というのは、そのロットが専用バッファを選択する前に、最後尾のロットの処理終了時刻が最小である（つまり $T_{min}$ である）専用バッファが複数存在する場合である。
- あるロットが専用バッファを選択する直前の $T_{min}$ の値が $T_1$ であったとすると、そのロットの専用バッファへの移動によって $T_{min}$ の値は $T_2$ （ただし $T_2{\ge}T_1$ ）になるので、次に専用バッファを選択するロットは、絶対、前のロットの処理開始時刻より前に処理を開始することはない。
- ロットが専用バッファを選択する順序は、ロットが専用バッファに並んでいる場合も、システムに到着していきなり専用バッファを選択する場合も、ロットが到着する順序と同じなので、ロットが到着する順序が後のロットが、前のロットより先に処理を開始することはない。
- よって「『トラップされている』ということ」で示した図２ａのタイプのトラップされたロットはない。
よって、Ｇ／Ｄ／ｍのロードポートあり、搬送時間なし、のモデルではトラップされたロットは存在しない

（証明終わり）
では、これを定理の形に書いておきます。