Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（１）

Ｍ／Ｍ／１の待ち行列における待ち時間の式は、

- $CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$
- ただし
  - $CT_q$ ：キューでの待ち時間
  - $u$ ：装置の利用率
  - $t_e$ ：装置の平均処理時間

導出方法

Ｍ／Ｍ／１待ち行列は、Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列の特殊な場合（m=1）であるとしても、Ｍ／Ｇ／１待ち行列の特殊な場合（処理時間がＭ）であるとしても考えられますので、それらを利用して待ち時間の式を導出することが出来ます。それぞれの場合について、結論の式から直接導く方法と、それぞれの場合の式を導いた思考の過程をなぞる方法が考えられます。（２×２＝４通りの導き方）　それぞれ味がありますので、全部紹介することにします。

１．Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列の待ち時間の式を利用する方法

Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列の待ち時間の式は

・・・・・・（１）
- ただし
- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}$ ・・・・・・（２）

でした。式（１）に $m=1$ を代入すると、

$CT_q=\frac{1^{1-1}u^1}{1!(1-u)^2}p_0=\frac{u}{(1-u)^2}p_0t_e$ ・・・・・・（３）

になります。式（２）に $m=1$ を代入すると、

- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{1-1}\frac{(u)^k}{k!}+\frac{(u)^1}{1!(1-u)}}=\frac{1}{\frac{(u)^0}{0!}+\frac{u}{1-u}}=\frac{1}{1+\frac{u}{1-u}}=\frac{1}{\frac{1-u+u}{1-u}}=\frac{1}{\frac{1}{1-u}}=1-u$ ・・・・・・（４）

式（４）を式（３）に代入して

$CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・・（５）

これでＭ／Ｍ／１の時の待ち時間の式を求めることが出来ました。

２．Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の式を利用する方法

Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の式は

$CT_q=\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・・（６）

でした。処理時間の変動係数 $c_e$ は、指数分布（Ｍ）では1ですから、 $c_e=1$ を式（６）に代入して

$CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・・（５）

これでＭ／Ｍ／１の時の待ち時間の式を求めることが出来ました。

導出方法

１．Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列の待ち時間の式を利用する方法

２．Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の式を利用する方法

３．Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列での考察をなぞる方法

４．Ｍ／Ｇ／１待ち行列での考察をなぞる方法

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