Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（１）

待ち行列ネットワークへの助走

以下の図に示すの構成は待ち行列ネットワークというのをはばかられるくらい単純なモデルですが、今の私の実力ではこれを研究するぐらいの能力しかありません。

さらに、この図の一番左から到着するジョブの到着間隔は指数分布であり、さらに２台の装置の処理時間の分布も指数分布とします。しかし、２台の装置の処理時間の平均値は等しくある必要はありません。１台目の装置の平均処理時間をt_{e1}、２台目の装置の平均処理時間をt_{e2}とします。さらに、１台目の装置の利用率をu_1、２台目の装置の利用率をu_2とします。
以下、Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）と同様の考察をこのモデルについて行います。
到着時間の間隔が指数分布であり、処理時間が指数分布であることから、任意の時刻tからdtの間にロットが到着する確率や、装置の処理が終了する確率は常に一定です（記憶なし特性）。装置１の平均処理時間はt_{e1}なので、dtの間に装置１の処理が完了する確率は

  • \frac{dt}{t_{e1}}・・・・・・（１）

となります。同様に装置２の平均処理時間はt_{e2}なので、dtの間に装置２の処理が完了する確率は

  • \frac{dt}{t_{e2}}・・・・・・（２）

となります。一方、装置１の利用率が１００％（つまり１）の時の装置１にやってくるロットの到着間隔の平均は、平均処理時間と等しくなりますからt_{e1}になります。さらに、ロットの到着間隔の平均は装置１の利用率u_1と反比例しますから

  • \frac{t_{e1}}{u_1}・・・・・・（３）

となります。よって、dtの間にロットが到着する確率は

  • \frac{u_1dt}{t_{e1}}・・・・・・（４）

なお、ロットの到着間隔の平均の逆数がスループットであるのでそれを\lambdaと置きます。すると式（３）から

  • \lambda=\frac{u_1}{t_{e1}}

となります。同様のことが装置２についても言え、「定常状態」では装置１を通るスループットと装置２を通るスループットは等しいので

  • \lambda=\frac{u_1}{t_{e1}}=\frac{u_2}{t_{e2}}・・・・・・（５）

となります。こうすると式（４）で表したdtの間にロットが到着する確率は

  • {\lambda}dt・・・・・・（６）

と表すことが出来ます。
「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（２）」に続きます。