Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（２）

先行エントリ：Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（１）

次に、装置１の待ち行列と装置を含めた領域にあるロットの数が $k$ 個、かつ、装置２の待ち行列と装置を含めた領域にあるロットの数が $m$ 個、である状態を状態 $(k,m)$ と表すことにします。例えば下図の状態は、状態（1,3）です。

そうすると、 $dt$ の間に状態（0,0）の状態から状態（1,0）に遷移する確率は「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（１）」の式（６）から

${\lambda}dt$

となります。これを下図のように表します。（ただし、図では $dt$ を省略しています。）

次に、 $dt$ の間に状態（1,0）から状態（0,1）に遷移する確率は「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（１）」の式（１）から

$\frac{dt}{t_{e1}}$

となります。さらに $dt$ の間に状態（0,1）から状態（0,0）に遷移する確率は「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（１）」の式（２）から

$\frac{dt}{t_{e2}}$

となります。以上３つの状態の遷移の関係を図に表すと下図のようになります。（ここでも $dt$ を省略しています。）

もちろん、状態（1,0）から $dt$ の間にさらにロットが到着する遷移もあり得ます。この確率はやはり

${\lambda}dt$

ですから、図は下のように追加されます。

以下、同様に繰り返していくと下図のようになっていきます。

ここで定常状態の時の状態 $(k,m)$ の発生確率を $p(k,m)$ と表します。上記の図から $p(k,m)$ を求めたいわけですが、どうすればよいのでしょうか？
１段のＭ／Ｍ／１待ち行列の場合は、下図に示すように、そして「Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）」で示したように、一番左の状態0から「出る量」と状態0に「入る量」が等しいことから始まって順に等式を立てることが出来ました。

しかし、今回は状態（0,0）から出る量と状態（0,0）に入る量が等しいことが、同様の推論を導きません。
ここで私は困ってしまいました。
「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（３）」に続きます。