大域平衡方程式と局所平衡方程式 - 工場統計力学（建設中！）

先行エントリ：Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列の解析

説明を簡単にするためにＭ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの場合（下図）を考えます。

ある状態 $(k,m)$ を取り出し、その状態への遷移を持つ状態と、その状態から出て行く遷移を持つ状態を表すと、下図のようになります。

図１

各状態の確率が定常的であるためには、この図の真ん中の状態に入ってくる量と出て行く量が等しくなければなりません。これを式で表すと以下のようになります。

$p(k-1,m)\lambda+p(k+1,m-1)\frac{1}{t_{e1}}+p(k,m+1)\frac{1}{t_{e2}}=p(k,m)\left(\lambda+\frac{1}{t_{e1}}+\frac{1}{t_{e2}}\right)$

これが定常状態になる必要充分条件です。この式を「大域平衡方程式」というそうです。
一方、「Ｍ／Ｍ／１→Ｍ／１待ち行列ネットワークの待ち時間を求めて（３）」で行った仮定の図

図２

を図１に当てはめると、以下のようになります。

これを式で表すと

$p(k-1,m)\lambda=p(k,m)\frac{1}{t_{e1}}$
$p(k+1,m-1)\frac{1}{t_{e1}}=p(k,m)\frac{1}{t_{e2}}$
$p(k,m+1)\frac{1}{t_{e2}}=p(k,m)\lambda$

となります。これを「局所平衡方程式」というそうです。しかし私には図２のほうが直感的で分かり易いと思っています。

さて、局所平衡方程式が成立すれば大域平衡方程式も成立することは明らかです。
では、局所平衡方程式が成立する時、積形式解以外の大域平衡方程式を満たす解はないのでしょうか？　大域平衡方程式は状態１つに１つの式が対応しますので、式の数と状態の数が等しいです。さらに全ての確率の和が１に等しいという式も満足しなければなりません。よって変数の数＋１個の連立一次方程式があることになります。ここから解は１組しかない、と言えるのでしょうか？　変数の数が無限であることも気になります。もう少し私は勉強が必要なようです。
「合流型待ち行列の解析」に続きます。