Ｍ／ｎ一般ネットワークの場合の積形式の証明（１）

先行エントリ：Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列の解析

「Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列の解析」と「Ｍ／１一般ネットワークの場合の積形式解存在の証明」での考察を合わせると、ロットの到着間隔が指数分布に従うようなＭ／ｎの一般ネットワークで積形式解が存在することが明らかなようです。それをここで確かめたいと思います。

ステーションの数をとします。ステーションを区別するために1から順番に番号をつけていきます。番目のステーションは台の装置から成り、装置の処理時間は指数分布であるとします。外から各ステーションへのロットの到着の時刻の間隔も指数分布であるとします。番目のステーションのスループットをで表します。また、番目のステーションに外から入ってくるスループットをで表します。ステーションを終えたロットがステーションに進む確率をで表します。そうすると、ステーションに入ってくる量は

• ・・・・・・（１）

で表すことが出来ます。式（１）はについての連立一次方程式になっています。これをについて解いて、

• ・・・・・・（２）

となるとします。さてを任意の定数として

• ・・・・・・（３）

が成り立つことは「Ｍ／１一般ネットワークの場合の積形式解存在の証明」でみたとおりです。一方、定義から

• ・・・・・・（４）

です。式（４）を変形して

• ・・・・・・（５）

を導きます。「Ｍ／ｎ一般ネットワークの場合の積形式の証明（２）」に続きます。