Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列の解析（補足）

「Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列の解析」の式（６）（７）から式（８）を導くところを省略せずに示したいと思います。式（６）（７）を再掲します。

これは「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」における式（８）（９）に対応するものです。これらも再掲します。（ここでは、式の番号が重ならないように「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」における式の番号はダッシュをつけて表すことにします。）

この式（８’）と式（９’）から

が導かれたのでした。さらに $p_0$ の値を求めるために、全確率の公式

を用いて

$p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}$ ・・・・・・（１４’）

を導き出したのでした。「Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列」の場合に戻って考えると上記の式（１０’）（１２’）に対応する式

を作ることは出来ますが、式（１３’）に対応する

は成り立ちません。そこで以下のように考え直します。

式（１０’）（１２’）で $m=2$ とします。すると

の場合
- $p_k=\frac{(2u)^k}{k!}p_0=\frac{2u}{1!}p_0=2up_0$ ・・・・・・（２１）
の場合
- $p_k=\frac{(2u)^2}{2!}u^{k-m}p_0=\frac{4u)^2}{2}u^{k-2}p_0=2u^kp_0$ ・・・・・・（２２）

ここで、利用率が $u$ に等しいＭ／Ｍ／２待ち行列における状態 $k$ の発生確率を $p\left{M/M/2,u\right}(k)$ で表せば、式（２１）（２２）は

ここで $u$ を $u_1$ で置き換えれば

式（１９）（２０）と式（２５）（２６）を比較すれば

よって、いずれの場合も

となります。ここで

とおけば式（２７）は

となって式（８）を導き出すことが出来ます。