ＰＡＳＴＡ（５）

待ち行列理論

「ＰＡＳＴＡ（４）」の続きです。N_kの定義から

  • \Bigsum_{i=1}^N{w_i}=\Bigsum_{k=0}^{\infty}kN_k・・・・（７）

です。式（１）を再度、示します。

  • E_a(w)=\lim_{N\rightar\infty}\frac{1}{N}\Bigsum_{i=1}^Nw_i・・・・・・（１）

式（７）を用いると

  • E_a(w)=\lim_{N\rightar\infty}\frac{1}{N}\Bigsum_{i=1}^Nw_i=\lim_{N\rightar\infty}\frac{1}{N}\Bigsum_{k=0}^{\infty}kN_k=\lim_{N\rightar\infty}\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\frac{N_k}{N}=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\lim_{N\rightar\infty}\frac{N_k}{N}

よって

  • E_a(w)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\lim_{N\rightar\infty}\frac{N_k}{N}

ここで式（６）を用いると

  • E_a(w)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\lim_{T\rightar\infty}\frac{T_k}{T}・・・・・・（８）


T_kの定義から

  • \Bigint_0^Tw(t)dt=\Bigsum_{k=0}^{\infty}kT_k

この両辺をTで割って、T\rightar\inftyとすれば

  • \lim_{T\rightar\infty}\frac{1}{T}\Bigint_0^Tw(t)dt=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\lim_{T\rightar\infty}\frac{T_k}{T}・・・・・・（９）

この式と式（８）より

  • E_a(w)=\lim_{T\rightar\infty}\frac{1}{T}\Bigint_0^Tw(t)dt・・・・・・（１０）

この式の右辺は、w(t)の時間平均そのものです。また、左辺は到着時平均でした。よって、これでＷＩＰの時間平均と到着時平均が等しいことが証明されました。
「現実的なワーストケースの式への疑問（４）」「ＰＡＳＴＡ（６）」に続きます。