Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１０） - 工場統計力学（建設中！）

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（９）」の続きです。
今日も２ページ。

パラメータ $\alpha_i$ と $\rho_i$ は単一サーバについては一致し、 $\alpha_i$ はサーバの数 $m_i$ が増加するにつれて（ $m_i=\infty$ の時は明らかに）より役立つ傾向がある。

　到着レートがノードについて計算された後に、QNAは矢印に関連した数量

$\lambda_{ij}=\lambda_i\gamma_iq_{ij}$

ノード $i$ からノード $j$ への到着レート

$p_{ij}=\lambda_{ij}/\lambda_j$

$j$ への到着における $i$ 、 $i{\ge}0$ から来たものの割合・・・・・(22)

を計算する。同様に、QNAは以下のアウトプットレートを計算する。

$d_i=\lambda_i\gamma_i\left(1-\Bigsum_{j=1}^nq_{ij}\right)$

ノード $i$ からネットワークの外への出発レート

$d=\Bigsum_{i=1}^nd_i$

ネットワークの外への総出発レート・・・・・(23)

4.2 トラフィック変動方程式
　近似の心臓部は内部フローについての変動パラメータ、つまり、到着過程の２乗変動係数 $c_{aj}^2$ 、をもたらす連立方程式である。（これらはセクション4.3から4.7で導出される。）　方程式は
		、　			(24)
の形をした一次式であり、 $a_j$ と $b_{ij}$ は入力データに依存する定数である。
		(25)
と
			(26)
ただし、 $x_i$ 、 $v_{ij}$ 、 $w_j$ は先に決定される基本データ、たとえば、 $\rho_i$ 、 $m_i$ 、 $c_{si}^2$ 、に依存するが、計算される変動パラメータ $c_{aj}^2$ には依存しない。パラメータ $\gamma_i$ はセクション2.2で導入された、客の生成や組合せの乗数である。変数 $x_i$ と $v_{ij}$ は出発オペレーションを指定するために使用される。変数 $w_j$ は重ね合わせオペレーションを指定するために使用される。変数 $v_{ij}$ と $w_j$ は、それぞれ出発と重ね合わせのためのハイブリット近似で発生する凸結合で使用される重み、すなわち、確率である。変数 $x_j$ 、 $v_{ij}$ 、 $w_j$ は(24)に基づくアルゴリズムの修正を容易にするために含まれている。QNAのこのバージョンでの特定の値は
						(27)
									(28)
						(29)
であり、
						(30)
であり、 $p_{ij}$ は(22)にある。

　この連立方程式を修正することが容易であることは重要である。例えば、出発や重ね合わせの他のハイブリッド手続きは単に $v_{ij}$ と $w_j$ をそれぞれ変えることによって導入できる。このようにして、いくつかの異なる近似手続きについて変動パラメータを計算し比較することは容易である。

4.3　重ね合わせ
　以下の諸セクションの目的は主要な近似方程式(24)〜(30)を説明することであり、それらは内部フローについての変動パラメータをもたらす。近似は全てWhitt*1における基本方法、すなわち、漸近法と定常間隔法、に基づいている。まず我々は基本オペレーション（重ね合わせ、分岐、出発を考察し、次にそれらの総合を考察する。

　重ね合わせについては、定常間隔法は非線形なのでそれは困難を示す*2 *3 *4 *5。さらに、それを線形にする自然な修正はないように見える。一方、漸近法は線形である。漸近法により、コンポーネント２乗変動係数 $c_i^2$ とレート $\lambda_i$ の関数としての重ね合わせの２乗変動係数 $c_A^2$ は単に凸結合
					(31)
である。

　しかし、漸近法も定常間隔法も単独では広い範囲の場合に渡ってあまりうまくはいかない。例えば、Whitt*6のセクションIIIを参照。Albin*7 *8は改善された合成手続きを用いることによってかなりの改善が得られることを見つけた。それは漸近法の $c_A^2$ と定常間隔法の[c_{SI}^2]の凸結合に基づいている。彼女のハイブリッド $c_H^2$ は
					(32)
の形をしている。