Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１１） - 工場統計力学（建設中！）

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１０）」の続きです。
今日も２ページ。

あいにく、 $c_{SI}^2$ が非線形であるので、 $c_H^2$ もそうである。しかし、Albinは、 $c_A^2$ と指数分布の $c^2$ 、１の凸結合が、３％に対して４％の平均絶対値誤差を持ち、ほぼ同様にうまくいくことを見つけた。よって、我々はそのようなハイブリッドな手続き、つまり
		
					(33)
を用いる。ただし $w$ は $\rho$ とレートの関数である。広範囲なシミュレーションはAlbinが重み関数
				(34)
を示唆することを促した。ただし
				(35)
もし同じレートを持つ $k$ 個のコンポーネント過程が存在するならば、 $v=k$ 。パラメータ $v$ はコンポーネント・ストリームの数として考えることが出来る。もしレートが等しくないならば等価な数である。

　しかし、重み関数(58)はある重要な一貫性条件を満足することに失敗する。つまり $v=1$ の時は $w=1$ のはずである。つまり単一の到着過程が存在するならば、重ね合わせオペレーションは $c^2$ パラメータを変えないままにしておくべきである。さらに、新しい理論的結果*1は(34)内の $(1-\rho)$ の指数は２であるべきであることを示している。よって我々は、(29)の重み関数に基づいて公式(33)を用いる。

4.4 分岐
　独立の確率（マルコフ的ルーティング）によって分けられた再生過程はやはり再生過程であるので、分岐について近似は必要ない。しかし、分岐される現実の過程は通常再生過程ではなく分岐はしばしばマルコフ的ルーティングに従っていないので近似はもちろん間接的にこのステップに関係している。

　マルコフ的ルーティングに従って分岐される再生過程は再生過程なので、漸近法と定常間隔法は一致する。もしパラメータ $c^2$ を持つ流れが $k$ 個の流れに分岐され、そしてそれぞれが確率 $p_i$ 、 $i=1,2,...,k$ 、に従って独立に選択されるならば、分岐から得られる $i$ 番目の過程は以下で与えられる２乗変動係数 $c_i^2$ を持つ。
					(36)
これは明らかに線形である。公式(36)は、分岐された流れの中の再生間隔分布は元々の再生間隔の幾何分布した確率変数の合計なので容易に得られる。

4.5 出発
　単一サーバ・ノードの定常間隔法について、我々はGI/G/1待ち行列 *2 *3における出発間隔時間の２乗変動係数、つまり $c_d^2$ 、についてMarshallの公式
			(37)
を適用する。ただし $EW$ は平均待ち時間である。 $EW$ は(37)に現れるので、ノードでの混雑は出発過程の変動に影響を与える。 $c_d^2$ の定常間隔法近似はGI/G/1待ち行列における $EW$ の近似を挿入することによって得られる。我々の解析*4 *5 *6 *7 *8は $g$ に１を設定した線形近似(2)を用いれば十分であることを示唆している。これを(37)に組み合わせると、単純な公式
					(38)
を得る。

　QNAの現在のバージョンで使用されているGI/G/m待ち行列のための(38)の単純な拡張は
			(39)
である。(39)は $m=1$ の時(38)に一致し、(39)は定常出発過程がポアソンであると知られているM/M/mとM/G/ $\infty$ システムについてそうであるように $c_d^2=1$ を導くことに注意しよう。(39)の３番目の項は $m$ が増加するにつれて０に近づき、複数サーバが重ね合わせオペレーションのように振舞う傾向を反映している。(39)のさらなる改良のための基礎はWhitt*9における出発過程の漸近解析である。この漸近解析はいくつかの場合、出発過程の変動は到着過程とサービス過程により複雑な仕方で依存していることを示している。

　重ね合わせと同じように、漸近法は定常間隔法より初歩的な近似をもたらす。実際、出発過程の漸近法近似はちょうど到着過程それ自身である。つまり $c_d^2$ の漸近法近似はちょうど $c_a^2$ である。*10長期間の出発数はちょうど到着数マイナス待ち行列内の数であり、到着数が無限に増えるのに対して、待ち行列内の数はその定常状態分布のまわりで変動する。

　改良されたハイブリッド手続きを形成するために基本的な方法を組み合わせることが残っている。しかし、限られた経験はこの改良は重ね合わせについてほど重要ではないことを示している。定常間隔法は単独で重ね合わせ過程についてよりも出発過程についてよりよく遂行されるように見える。*11