Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１４）

待ち行列ネットワークへの助走

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１３）」の続きです。
今日も２ページ。突っ走るしかない。

ケース１：c_s^2{\ge}1の場合

		d_s^3=3c_s^2(1+c_s^2)			(51)

これはH_2^b公式

		d_s^3=\frac{3}{4}\left[\frac{1}{q^2}+\frac{1}{(1-q)^2}\right]
と
		q=\left[1+\sqrt{4(c_s^2-1)/(c_s^2+1)}\right]/2

から来ている。


ケース２：c_s^2<1

		d_s^3=(2c_s^2+1)(c_s^2+1)			(52)


　(52)はアーランE_k変数を考察することで得られる。E_kはk個のiidの、平均\tau/kの指数確率変数X_iの和として表現出来、ここに\tauはE_k変数の平均である。この場合、

E(X_1+...+X_k)^3=kE(X_1^3)+3k(k-1)E(X_1^2)E(X_1)+k(k-1)(k-2)(EX_1)^3
		=\left(\frac{\tau}{k}\right)^3[6k+6k(k-1)+k(k-1)(k-2)]
なので
		d_s^3=\frac{(k+2)(k+1)k}{k^3}=\left(1+\frac{2}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k}\right)

これは、E_k変数においてc_s^2=k^{-1}なので(52)に簡約出来る。(51)と(52)はc_s^2=1の時の境界で一致することに注意しよう。
　(44)、(48)、(50)〜(52)から、即座にVar(D)とED^2の公式を得る。

		Var(D)=(ED)^2c_D^2=(EW)^2c_D^2/\sigma^2
		E(D^2)=Var(D)+(ED)^2			(53)

よってDからWの２次モーメント特性を得る。

	c_W^2=\frac{E(W^2)}{(EW)^2}-1=\frac{\sigma{E}(D^2)}{\sigma{ED}^2}-1=\frac{c_D^2+1-\sigma}{\sigma}
	Var(W)=(EW)^2c_W^2
	E(W^2)=Var(W)+(EW)^2				(54)


　さて我々はQNAがどのようにWの近似確率分布を計算するかを示す。分布は(48)内で与えられているようにゼロでのアトム(atom)とゼロより上の密度を持っている。密度はWとDがそれらについてすでに定められた最初の２つのモーメントを持つように選ばれる。（これは一般ルールであって、以下のケース２と４ではあまり従っていない。）


ケース１：c_D^2>1.01。DがH_2^b密度（バランスのとれた平均を持つ超指数分布）を持っているとする。

		f_d(x)=p\gamma_1e^{-\gamma_1x}+(1-p)\gamma_2e^{-\gamma_2x}、	x{\ge}0		(55)
ただし
		p=\left[1+\sqrt{(c_D^2-1)/(c_D^2+1)}\right]/2
		\gamma_1=2p/ED		\gamma_2=2(1-p)/ED		(56)


ケース２：0.99{\le}c_D^2{\le}1.01。Dが平均EDの指数分布密度を持つとする。


ケース３：0.501{\le}c_D^2<0.99。Dの分布は、パラメータ\gamma_1と\gamma_2(\gamma_1>\gamma_2)を持つ２つの指数分布の畳み込みであるとする。つまり、Dは密度

		f_D(x)=\left(\frac{\gamma_1\gamma_2}{\gamma_1-\gamma_2}\right)(e^{-\gamma_2x}-e^{-\gamma_1x})、	x{\ge}0	(57)
ただし
		\gamma_2^{-1}=\frac{ED+\sqrt{2Var(D)-(ED)^2}}{2}
であり
		\gamma_1^{-1}=ED-\gamma_2^{-1}			(58)

関係する裾野(tail)確率は

		P(D>x)=(\gamma_1e^{-\gamma_2x}-\gamma_2e^{-\gamma_1x})/(\gamma_1-\gamma_2)	(59)


ケース４：c_D^2<0.501。Dが平均ED、c^2=0.5を持つE_2（アーラン）分布を持っているとする。その密度は

		f_D(x)=\gamma^2xe^{-{\gamma}x}、		x{\ge}0		(60)

である。ただし\gamma=2/ED。関係する裾野確率は

		P(D>x)=e^{-\gamma{x}}(1+\gamma{x})、	x{\ge}0		(61)


　確定的サービス時間についてはd_s^3=1なので、(50)による最も小さな可能なc_D^2は(1+2\rho)/3である。よって、上記ケース４はそれほど頻繁には起こらない。


　最後に、N、システム内の数、の２次モーメントと分散を扱う。M/G/1待ち行列について、E(N^2)を計算することは難しくはない。設備内の定常状態の数は客が設備にいる時間の間の到着数に等しいので、WのモーメントからNのモーメントを計算するのは容易である。例えば、

	E(N^2)=\lambda(EW+Ev)+\lambda^2[E(W^2)+2EWEv+E(v^2)]
		=\lambda{EW}+\rho+\lambda^2E(W^2)+2\lambda\rho{EW}+\rho^2(c_s^2+1)	(62)
そして
		Var(N)=\lambda{EW}+\rho+\rho^2c_s^2+\lambda^2Var(W)		(63)


「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１５）」に続きます。