QNA：ノードでの混雑：GI/G/1待ち行列：GI/G/m待ち行列

個人的な興味から、「The Queueing Network Analyzer」の「5.1 GI/G/1待ち行列」の構成を見直します。

待ち時間の平均値
- KraemerとLangenbach-Belzの近似１を使用。 $\rho$ 、 $c_a^2$ 、 $c_s^2$ から出す。
ノード内の客の数の平均値 $EN$ の近似。 $EW$ と $\rho$ から出す。
遅延の確率
- KraemerとLangenbach-Belzの近似２を使用。 $\rho$ 、 $c_a^2$ 、 $c_s^2$ から出す。
サーバがビジーな場合の遅延の平均値 $ED$ 。 $EW$ と $\sigma$ から出す。
サーバがビジーな場合の遅延の分散。
- M/G/1の場合のの式をGI/G/1の場合の近似式として採用。
  - 、、から出す。をどうやって求めるのか？
    - ケース１： $c_s^2{\ge}1$ の場合。 $c_s^2$ から出す。
    - ケース２： $c_s^2<1$ の場合。 $c_s^2$ から出す。
$Var(D)$ が $ED$ と $c_D^2$ から
$E(D^2)$ が $Var(D)$ と $ED$ から
$c_W^2$ が $c_D^2$ と $\sigma$ から
$Var(W)$ が $EW$ と $c_W^2$ から
$E(W^2$ が $Var(W)$ と $EW$ から
の近似確率分布。（の近似確率分布はどうなるのか？）
- ケース１： $c_D^2>1.01$ ：超指数分布
- ケース２： $0.99{\le}c_D^2{\le}1.01$ ：指数分布
- ケース３： $0.501{\le}c_D^2{\le}0.99$ ：２つの指数分布の畳み込み
- ケース４： $c_D^2<0.501$ ： $c^2=0.5$ を持つ $E_2$ （アーラン）分布
とがとから
- $c_N^2$ が $\rho$ と $\sigma$ と $EW$ から

以上を図示すると、

今、私はGI/G/1待ち行列システム内の客の数の定常状態分布を何とか近似出来ないか、考えているのですが、上で示した内容からは直接、導出は出来そうにないようです。客の数の平均 $EN$ と分散 $Var(N)$ が近似的に求まるので、そこから何かの分布を仮定するのがよさそうです。まだ、先は長そうです。

ついでに「5.2 GI/G/m待ち行列」の構成も復習します。

待ち時間の平均値
- 近似を使用。 $\rho$ 、 $c_a^2$ 、 $c_s^2$ から出す。
$c_W^2$ は $c_a^2, c_s^2$ には依存しない、と仮定して、M/M/mの場合の $c_W^2$ で近似している。
$c_N^2$ は $c_a^2, c_s^2$ には依存しない、と仮定して、M/M/mの場合の $c_N^2$ で近似している。