QNA読解：2.3 クラスとルート毎のインプット（１）

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成
「QNA読解：2.1　標準インプット」の続きです。
この「2.3　クラスとルート毎のインプット」は、QNAを生産ラインへ応用する際に重要です。ここで「クラス」と「ルート」という２つの言葉が出ていますが、同じ意味と解してよさそうです。「クラス」とは生産ラインにおいては「製品」であり、「ルート」は「ラウティング」です。ここでは「クラス」と「ルート」は１対１、つまり「製品」と「ラウティング」は１対１と仮定しているようです。これは無理のない仮定です。
では、クラスとルート毎の入力の内容を見ていきます。（以下、単に「ルート毎の入力」と記します。）

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  • ノードの数
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  • ノードのサーバの数

ここまでは標準インプットと同じです。

次にルート毎の情報があります。ルートの一般的な構成を下図に示します。

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  • ルートの数
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  • ルート上のノード（＝ステーション）の数
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  • クラスの客（＝ジョブ）が外部から到着する際の単位時間あたり到着数
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  • ルートの客（＝ジョブ）が外部から到着する際の到着間隔の２乗変動係数
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  • ルートが番目に訪問するノード（＝ステーション）。つまり、番目の工程のステーション
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  • ルートの番目の工程での処理時間の平均値
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  • ルートの番目の工程での処理時間の２乗変動係数

今回のモデルの場合、標準インプットとは異なり、ルートが確定的であることに注意して下さい。つまり、あるステーションで処理されたジョブの次の行先ステーションは一意に決まります。これは生産ラインのモデルとしては標準インプットより適切です。

QNAは以上の入力を標準インプットに変換します。この論文では次に変換の仕方を述べています。変換方法の記述を簡潔にするために以下のような「指示関数」を導入しています。

このために、が集合の指示関数であるとしよう。つまりもしならばさもなければである。

まず、標準インプットにおける

• 
  • ノードへの外部到着レート

を求めています。これは直感的に分かるように、対象のノードを最初の工程（訪問ノード）とするような全てのルートについて合計すれば求めることが出来ます。これを式で書くと以下のようになります。

				(3)

次に

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  • ノードを出た客が次にノードに行く確率

を求めてみましょう。これはノードからノードに行く流量を、ノードから出る流量全体で割れば求めることが出来ます。ノードからノードに行く流量を

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で表わすとすると、ある工程がノードで次の工程がノードであるような全てのルートと工程についてその流量を合計すると求めることが出来ます。ルートの番目の工程のノードは上の表記では

• 

なので、その次工程のノードは

• 

になります。ある工程がノードで次の工程がノードであるような全てのルートと工程は

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が１であるようなとです。よって、

				(4)

となります。ついでに、ノードからネットワークの外へ出て行く流量も求めておきましょう。これは同様に考えて

				(5)

となります。よって、ノードから出る流量全体は

• 

となります。よって

• 

は

				(6)

となります。

「QNA読解：2.3　クラスとルート毎のインプット（２）」に続きます。