QNA読解：2.3　クラスとルート毎のインプット（４）

待ち行列ネットワークへの助走

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成
「QNA読解：2.3　クラスとルート毎のインプット（３）」の続きです。
「2.3　クラスとルート毎のインプット」の最後は、簡単な例を提示して、「クラス毎の入力」を「標準入力」に変換する方法の復習をしています。登場する例はノードが２つしかない図１のようなネットワークです。

  • 図１

ノード１は４０台（m_1=40）、ノード２は１０台（m_2=10）の装置から成ります。


ルートは３つ存在します。「2.3　クラスとルート毎のインプット」ではルートに関する入力情報を以下のように表わしています。

ルートの入力をベクトル

	(n_k,\hat\lambda_k,c_k^2;n_{k1},\tau_{k1},c_{sk1}^2;...;n_{kn_k},\tau_{kn_k},c_{skn_k}^2)	(13)

で記述するとしよう。ここでrベクトルは

	(2,2,1; 1,1,1; 1,3,3)
	(3,3,2; 1,2,0; 2,1,1; 1,2,1)
	(2,2,4; 2,1,1; 1,2,1)			(14)

上で与えられた情報を全て図示するとゴチャゴチャになってしまうので、各工程での処理時間の平均と２乗変動係数は省略して図示します。すると次のようになります。

  • 図２

ルート１は、ノード１で処理を受けたのちすぐノード１に戻る特殊なルートです。まず、

		\lambda_{0j}=\Bigsum_{k=1}^r\hat\lambda_k1\{k:n_{k1}=j\}		(3)

を用いて

  • \lambda_{01}=\hat\lambda_1+\hat\lambda_2=2+3=5
  • \lambda_{02}=\hat\lambda_3=2

が求まります。次に

		\lambda_{ij}=\Bigsum_{k=1}^r\Bigsum_{l=1}^{n_k-1}\hat\lambda_k1\{(k,l):n_{kl}=i,n_{k,l+1}=j\}		(4)

を用いて

  • \lambda_{11}=\hat\lambda_1=2
  • \lambda_{12}=\hat\lambda_2=3
  • \lambda_{21}=\hat\lambda_2+\hat\lambda_3=3+2=5
  • \lambda_{22}=0

となります。これらは図２を見れば直感的に理解出来ます。同様に

		\lambda_{i0}=\Bigsum_{k=1}^r\hat\lambda_k1\{k:n_{kn_k}=i\}		(5)

から

  • \lambda_{10}=\hat\lambda_1+\hat\lambda_2+\hat\lambda_3=2+3+2=7
  • \lambda_{20}=0

となります。

		q_{ij}=\frac{\lambda_{ij}}{\lambda_{i0}+\Bigsum_{k=1}^n\lambda_{ik}}		(6)

から、

  • q_{11}=\frac{\lambda_{11}}{\lambda_{10}+\lambda_{11}+\lambda_{12}}=\frac{2}{7+2+3}=1/6
  • q_{12}=\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{10}+\lambda_{11}+\lambda_{12}}=\frac{3}{7+2+3}=1/4
  • q_{21}=\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{20}+\lambda_{21}+\lambda_{22}}=\frac{5}{0+5+0}=1
  • q_{22}=\frac{\lambda_{22}}{\lambda_{20}+\lambda_{21}+\lambda_{22}}=\frac{0}{0+5+0}=0


次に処理時間のほうにいきます。図２では処理時間の情報が書かれていませんが、(14)のベクトルから読み取って下さい。

		\tau_j=\frac{\Bigsum_{k=1}^r\Bigsum_{l=1}^{n_k}\hat\lambda_k\tau_{kl}1\{(k,l):n_{kl}=j\}}{\Bigsum_{k=1}^r\Bigsum_{l=1}^{n_k}\hat\lambda_k1\{(k,l):n_{kl}=j\}}		(7)

から、

  • \tau_1=\frac{\hat\lambda_1\tau_{11}+\hat\lambda_1\tau_{12}+\hat\lambda_2\tau_{21}+\hat\lambda_2\tau_{23}+\hat\lambda_3\tau_{32}}{\hat\lambda_1+\hat\lambda_1+\hat\lambda_2+\hat\lambda_2+\hat\lambda_3}
    • =\frac{2{\times}1+2{\times}3+3{\times}2+3{\times}2+2{\times}2}{2+2+3+3+2}=\frac{2+6+6+6+4}{12}=2
  • \tau_2=\frac{\hat\lambda_2\tau_{22}+\hat\lambda_3\tau_{31}}{\hat\lambda_2+\hat\lambda_3}=\frac{3{\times}1+2{\times}1}{3+2}=1
		\tau_j^2(c_{sj}^2+1)=\frac{\Bigsum_{k=1}^r\Bigsum_{l=1}^{n_k}\hat\lambda_k\tau_{kl}^2(c_{skl}^2+1)1\{(k,l):n_{kl}=j\}}{\Bigsum_{k=1}^r\Bigsum_{l=1}^{n_k}\hat\lambda_k1\{(k,l):n_{kl}=j\}}	(8)

から

  • \tau_1^2(c_{s1}^2+1)=2^2(c_{s1}^2+1)
    • =\frac{\hat\lambda_1\tau_{11}^2(c_{s11}^2+1)+\hat\lambda_1\tau_{12}^2(c_{s12}^2+1)+\hat\lambda_2\tau_{21}^2(c_{s21}^2+1)+\hat\lambda_2\tau_{23}^2(c_{s23}^2+1)+\hat\lambda_3\tau_{32}^2(c_{s32}^2+1)}{\hat\lambda_1+\hat\lambda_1+\hat\lambda_2+\hat\lambda_2+\hat\lambda_3}
    • =\frac{2{\times}1^2(1+1)+2{\times}3^2(3+1)+3{\times}2^2(0+1)+3{\times}2^2(1+1)+2{\times}2^2(1+1)}{2+2+3+3+2}
    • =\frac{2{\times}2+2{\times}9{\times}4+3{\times}4+3{\times}4{\times}2+2{\times}4{\times}2}{12}
    • =\frac{4+72+12+24+16}{12}=\frac{128}{12}=10.67

よって

  • c_{s1}^2=10.67/4-1=1.67

また

  • \tau_2^2(c_{s2}^2+1)=1^2(c_{s2}^2+1)=\frac{\hat\lambda_2\tau_{22}^2(c_{s22}^2+1)+\hat\lambda_3\tau_{31}^2(c_{s31}^2+1)}{\hat\lambda_2+\hat\lambda_3}
    • =\frac{3{\times}1^2(1+1)+2{\times}1^2(1+1)}{3+2}=\frac{6+4}{5}=2

よって

  • c_{s2}^2=2-1=1


「QNA読解：2.3　クラスとルート毎のインプット（５）」に続きます。