QNA読解：III.即座戻りの除去（２） - 工場統計力学（建設中！）

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「QNA読解：III.即座戻りの除去（１）」の続きです。このように即座戻りによる繰り返しの処理を、戻りのない１回の処理に置き換えることは待ち行列の長さの平均や標準偏差にどのような影響を与えるでしょうか？
即座戻りを除去しない場合、処理を終えた客が即座戻りをするとすると、その客は待ち行列の最後尾に並びます。ところでこれを、待ち行列の先頭に並ぶように規則を変えても、処理時間が個別に独立に決まるのであれば、待ち行列の長さの平均や標準偏差は変わらないことが直感的に分かります。

ところが即座戻りの客が、処理終了後待ち行列の先頭に並ぶことと、戻りなしで１回の処理を行い、その代わり処理時間を $1/(1-q_{ii})$ 倍することは同等です。よって、即座戻りによる繰り返しの処理を、戻りのない１回の処理に置き換えることは待ち行列の長さの平均や標準偏差に影響を与えません。よってこの即座戻りの除去によって出来たモデルから待ち行列の長さの平均や標準偏差を求めることが出来ます。しかし、その他の量については補正が必要です。

例えばノード $i$ での待ち時間の平均値 $EW_i$ はどうでしょう？　即座戻りの除去によってノードへの訪問回数は平均 $(1-q_{ii})^{-1}$ 回であったものが１回に減っているので、リトルの法則から考えて、元の訪問回数で考えるならば待ち時間の平均値は、得られた待ち時間の平均値を $(1-q_{ii})$ 倍すべきことが分かります。即座戻りを除去したモデルから得た待ち時間の平均値を $EW_i$ 、それを補正した本来求めたい待ち時間の平均値を $E\bar{W}_i$ で表わすと

$E\bar{W}_i=(1-q_{ii})EW_i$

となります。

では待ち時間の分散 $Var(\bar{W}_i)$ はどうなるでしょうか？　この論文はそれにも解答を与えていますが、残念ながら私には理解出来ません。まず

$Var(\bar{W}_i)=(1-q_{ii})Var(T_i')-\bar{c}_{si}^2\bar\tau_i^2$ ・・・・・（ア）

としています。ここに登場する $\bar{c}_{si}^2$ と $\bar\tau_i^2$ については

$\bar\tau_i=(1-q_{ii})\tau_i$
$\bar{c_{si}}^2=(c_{si}^2-q_{ii})/(1-q_{ii})$

としていますが、これは「QNA読解：III.即座戻りの除去（１）」の式(16)の一部

$\hat\tau_i=\tau_i/(1-q_{ii})$
$\hat{c}_{si}^2=q_{ii}+(1-q_{ii})c_{si}^2$

を逆に解いたものになっています。また、 $\bar{c}_{si}^2$ 、 $\bar\tau_i^2$ の意味が、即座戻り除去によって得たモデルから得た値を本来のモデルに合わせて補正したものであるという文中の意味を考えれば、

$\bar\tau_i=(1-q_{ii})\hat\tau_i=\tau_i$
$\bar{c_{si}}^2=(\hat{c}_{si}^2-q_{ii})/(1-q_{ii})=c_{si}^2$

ではないかと思うのです。
次に $Var(T_i')$ については、意味としては $T_i'$ の分散、という意味ですが、 $T_i'$ が何を意味するのかについて論文は

もしノード $i$ がある客によって $X_i$ 回訪問を受けるのであれば、ノード $i$ での総滞在時間、例えば $T_i'$ としよう、は $X_i\bar{T}_i'$ として（高負荷で）近似的に分布する。

と述べています。つまり $T_i'$ は $X_i$ 回訪問するある客のノード $i$ での総滞在時間ということです。式（ア）の説明は

$T_i'$ の分散を待ち時間要素とサービス時間要素に分け、ノード $i$ への訪問の期待数で割ることによって $Var(\bar{W}_i)$ の・・・式を得る。

となっています。そうすると、ノード $i$ への訪問の期待数 $(1-q_{ii})^{-1}$ を式（ア）の両辺にかけると

$(1-q_{ii})^{-1}Var(\bar{W}_i)=Var(T_i')-(1-q_{ii})^{-1}\bar{c}_{si}^2\bar\tau_i^2$
$Var(T_i')=\frac{1-q_{ii}}{Var(\bar{W}_i)}+\frac{1-q_{ii}}{\bar{c}_{si}^2\bar\tau_i^2}$ ・・・・・（イ）

この式の左辺は総滞在時間の分散であり、右辺ではそれが待ち時間の分散と処理時間の分散の和として表わされていることになります。 $Var(\bar{W}_i)$ は補正された待ち時間の分散を表わしますが、これは１訪問あたりの分散なので平均訪問回数 $(1-q_{ii})^{-1}$ をかけているのでしょう。
一方 $\bar{c}_{si}^2\bar\tau_i^2$ は処理時間の分散になります。これも１訪問あたりの分散なので平均訪問回数 $(1-q_{ii})^{-1}$ をかけています。やはり

$\bar{c}_{si}^2\bar\tau_i^2$

は

${c}_{si}^2\tau_i^2$

と読み直すべきだと思います。

２つの独立な確率変数を、とすると
- $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$
になることの証明は「独立な確率変数の和の分散」を参照して下さい。

ところで待ち時間 $\bar{W}_i$ と処理時間（この論文では処理時間を表わす確率変数は登場せず、その平均が $\tau_i$ で、変動係数が $c_{si}$ で表わされています）は本当に独立だろうか、という疑問が私にはあります。処理時間が長ければ待ち時間も長くなるのではないでしょうか？　今のところ、これは疑問のままです。

「QNA読解：III.即座戻りの除去（３）」に続きます。