QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(5)
上位エントリー:Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成
「QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(4)」の続きです。
今度はジョブの待ち時間の確率分布を近似的に導き出してしまおうとする試みです。これにはすでに私たちが持っている以下の情報を用います。
- 待ち時間が存在する確率
(QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(2)参照)
・・・・(48)
- ただし
・・・・(49)
- 待ち時間が存在する場合に限った待ち時間の平均値
(QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(2)参照)
・・・・(ウ)
- 待ち時間が存在する場合に限った待ち時間の2乗変動係数
([QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(4)]参照)
・・・・(50)
- ただし
の場合
・・・・(51)
の場合
・・・・(52)
まずはから、
を求めます。これは確率「密度」ではなく、確率です。次に
の場合について
の分布から
の分布を求めます。その
の分布は
と
から推定します。(私には
と
だけから分布を推定するのは乱暴な気もするのですが・・・・)。まず基本は
に近い場合には、
の分布は指数分布になる、という仮定です(この仮定の妥当性を調べる必要がありそうですね)。そして
が1より大きければ
の確率分布をバランスのとれた平均を持つ超指数分布で、1より小さければ2つの指数分布の畳み込み、または、アーラン分布で近似する、というものです。
論文に書いてある結論は、このようになっています。
ケース1:
の場合。
の分布をバランスのとれた平均を持つ超指数分布で近似
その確率分布は
、
・・・・(55)
- ただし
・・・・(56-1)
・・・・(56-2)
・・・・(56-3)
です。(56-1)、(56-2)、(56-3)の導出方法は「バランスのとれた平均を持つ超指数分布」を参照下さい。なお、論文では変数を用いていますが、
は時間であるので、本来であれば変数
を使うべきだと私は思います。分布の形の例をグラフに示します。(
)
ケース2:
の場合。
の分布を平均
を持つ指数分布で近似
ケース3:
の場合。
の分布をパラメータ
と![\gamma_2](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cgamma_2)
を持つ2つの指数分布の畳み込みで近似
その確率分布は
、
・・・・(57)
- ただし
・・・・(58-1)
・・・・(58-2)
です。この分布の裾野確率は
・・・・(59)
式(57)の分布が正規化されていること、その平均がになること、分散が
になることの確認は「2つの指数分布の畳込み」に示します。また、裾野確率が式(59)になることの確認もそこで示します。分布の形の例をグラフに示します。(
)
なお、になると
となってしまい、式(57)が計算不能になりますので、このグラフには
を載せていません。
の場合には次のケース4で扱います。
ケース4:
の場合。
の分布を平均
、2乗変動係数
を持つ2次のアーラン分布で近似
その確率分布は
、
・・・・(60)
- ただし
・・・・(60-1)
です。この分布の裾野確率は
、
・・・・(61)
裾野確率が式(61)になることは以下のように確かめることが出来ます。
分布の形の例をグラフに示します。()
分布はと
の値を満たすように定める方針でしたが、論文に
これは一般ルールであって、以下のケース2と4ではあまり従っていない。
とありますように、ケース2と4ではの値は近似分布から求めた値と異なっています。
「QNA読解:5.1 GI/G/1待ち行列(6)」に続きます。