ポアソン分布

確率論

到着間隔時間の確率分布が平均1/\lambdaの指数分布であるような到着過程（ポアソン過程）において、時間間隔[0,t]の間に何個到着するかの分布がポアソン分布です。この分布は、n個到着する確率がp(n)になるというような分布ですから、定義域が離散的な分布です。このポアソン分布は以下であたえられます。時間間隔[0,t]の間にk個の到着がある確率p(k;t)は

  • p(k;t)=\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})・・・・(1)

です。

式(1)の証明

数学的帰納法を使って(1)を証明します。まずk=0の時です。
時間間隔[0,t]に一度も到着しない確率p(0;t)は、到着時刻がtより大きい確率であると考えられます。最初の到着の時刻は指数分布で分布しますから、

  • p(0;t)=\Bigint_t^{\infty}\lambda\exp(-\lambda\tau)d\tau=[-\exp(-\lambda\tau]_t^{\infty}=\exp(-\lambda{t})・・・・(2)

ところで、式(1)の右辺でk=0と置いた場合

  • \frac{\lambda{t}^0}{0!}\exp(-\lambda{t})=\exp(-\lambda{t})

となるので、k=0の時に式(1)が成り立つことが分かります。
次に、k=nの時に(1)が成り立つと仮定して、k=n+1の時に(1)が成り立つことを示します。
時間間隔[0,t]の間にn+1回到着する確率p(n+1;t)は、[tex:0

  • \lambda\exp(-\lambda{a})da

となります。一方、[a,t]の間にn回到着する確率は

  • p(n;t-a)

です。よって、[a,a+da]に最初の１回の到着があって次に[a,t]の間にn回到着する確率は

  • \lambda\exp(-\lambda{a})dap(n;t-a)

になります。よって時間間隔[0,t]の間にn+1回到着する確率p(n+1;t)は、

  • p(n+1;t)=\Bigint_0^{\infty}\lambda\exp(-\lambda{a})dap(n;t-a)・・・・(3)

となります。式(3)の右辺を変形すると

  • \Bigint_0^{\infty}\lambda\exp(-\lambda{a})dap(n;t-a)=\Bigint_0^{\infty}\lambda\exp(-\lambda{a})da\frac{\{\lambda(t-a)\}^n}{n!}\exp(-\lambda(t-a))
    • =\Bigint_0^{\infty}\lambda\frac{\{\lambda(t-a)\}^n}{n!}\exp(-\lambda{t})da=\frac{\lambda^{n+1}}{n!}\exp(-\lambda{t})\Bigint_0^{\infty}(t-a)^nda

最後の式の右辺の定積分はt-aをaに置き換えても値は変わらないので

  • \frac{\lambda^{n+1}}{n!}\exp(-\lambda{t})\Bigint_0^{\infty}(t-a)^nda=\frac{\lambda^{n+1}}{n!}\exp(-\lambda{t})\Bigint_0^{\infty}a^nda=\frac{\lambda^{n+1}}{n!}\exp(-\lambda{t})\left[\frac{a^{n+1}}{n+1}\right]_0^t
    • =\frac{\lambda^{n+1}}{n!}\exp(-\lambda{t})\frac{t^{n+1}}{n+1}=\frac{(\lambda{t})^{n+1}}{(n+1)!}\exp(-\lambda{t})

よって

  • p(n+1;t)=\frac{(\lambda{t})^{n+1}}{(n+1)!}\exp(-\lambda{t})

よってk=n+1の時、式(1)は成り立つ。
よって全ての０以上の整数kについて式(1)が成り立つことが証明できました。

ポアソン分布の平均

ポアソン分布で変動する確率変数をNで表わすことにします。Nは０以上の整数値を取る確率変数です。この変数の平均E(N)は

  • E(N)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}kp(k;t)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}k\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})
    • =\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^k}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^{k+1}}{k!}\exp(-\lambda{t})=\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^k}{k!}
    • =\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\exp(\lambda{t})=\lambda{t}

よって

  • E(N)=\lambda{t}・・・・(4)

ポアソン分布の分散

分散Var(N)を求めるために最初に２乗平均E(N^2)を求めます。

  • E(N^2)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k^2p(k;t)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}k^2\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})
    • =\Bigsum_{k=1}^{\infty}k\frac{(\lambda{t})^k}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})=\Bigsum_{k=0}^{\infty}(k+1)\frac{(\lambda{t})^{k+1}}{k!}\exp(-\lambda{t})
    • =\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\Bigsum_{k=0}^{\infty}(k+1)\frac{(\lambda{t})^k}{k!}=\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\left[\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\frac{(\lambda{t})^k}{k!}+\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\right]
    • =\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\left[\Bigsum_{k=0}^{\infty}k\frac{(\lambda{t})^k}{k!}+\exp(\lambda{t})\right]=\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\left[\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^k}{(k-1)!}+\exp(\lambda{t})\right]
    • =\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\left[\lambda{t}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{t})^k}{k!}+\exp(\lambda{t})\right]=\exp(-\lambda{t})\lambda{t}\left[\lambda{t}\exp(\lambda{t})+\exp(\lambda{t})\right]
    • =\lambda{t}(\lambda{t}+1)

よって、式(4)を用いると

  • Var(N)=E(N^2)-E(N)^2=\lambda{t}(\lambda{t}+1)-(\lambda{t})^2=\lambda{t}

よって

  • Var(N)=\lambda{t}・・・・(5)