QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（６） - 工場統計力学（建設中！）

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（５）」の続きです。
このセクションの最後は、システム内のジョブの数 $N$ （待っているジョブと処理中のジョブの両方を含む）の２乗平均と分散を求めています。まず、GI/G/1ではなくM/G/1の場合について $N$ の２乗平均 $E(N^2)$ 考えます。
その前にちょっと準備をします。
ある時刻 $t_0$ から $t_0+t$ の間の到着数を $N(t)$ で表わすことにします。 $N(t)$ は確率的に変動するので確率変数です。 $T$ を別の確率変数とします。すると $N(T)$ もまた確率変数になります。この $N(T)$ の２乗平均 $E\left(N(T)^2\right)$ はどう計算されるでしょうか？　 $T$ の確率密度関数を $p(t)$ で表わします。すると

$E\left(N(T)^2\right)=\Bigint{E_t}\left(N(t)^2\right)p(t)dt$ ・・・・(ア)

と表わすことが出来ます。ただし $E_t()$ は $t$ を固定しての平均を表わします。次に

$E_t\left(N(t)^2\right)=Var_t(N(t))+E_t\left(N(t)\right)^2$ ・・・・(イ)

ただし $Var_t()$ は $t$ を固定して計算した分散を表わします。式(イ)の右辺の２番目の項は $N(t)$ の意味から考えると

$E_t\left(N(t)\right)=\lambda{t}$ ・・・・(ウ)

であることが分かります。 $\lambda$ は到着頻度（スループット）です。また、式(イ)の右辺の最初の項は、到着間隔の分布が指数分布なので「ポアソン分布」の式(5)を使うことが出来て

$Var_t(N(t))=\lambda{t}$ ・・・・(エ)

となります。(ウ)(エ)を(イ)に代入して

$E_t\left(N(t)^2\right)=\lambda{t}+\lambda^2t^2$ ・・・・(オ)

となります。式(オ)を式(ア)に代入して

$E\left(N(T)^2\right)=\Bigint(\lambda{t}+\lambda^2t^2)p(t)dt=\lambda{E(T)}+\lambda^2E(T^2)$

よって

$E\left(N(T)^2\right)=\lambda{E(T)}+\lambda^2E(T^2)$ ・・・・(カ)

これで準備が出来ました。
あるジョブが処理を終了する際の待ち行列システム内のジョブ数 $N$ は、そのジョブの待ち時間 $W$ （確率変数です）と処理時間 $v$ （確率変数です）を足した時間の間に到着したジョブ数 $N(W+v)$ になるはずです。この数の２乗平均から $E(N^2)$ を計算します。（終了時刻のみの平均と時間平均が等しいのか私には疑問が残ります。）　すると

$E(N^2)=E\left(N(W+v)^2\right)$

ここで(カ)を用いると

- $=\lambda(EW+Ev)+\lambda^2[E(W^2)+2E(Wv)+E(v^2)]$

ここで $W$ と $v$ は独立であるので

$E(Wv)=EWEv$

よって

$E(N^2)=\lambda(EW+Ev)+\lambda^2[E(W^2)+2EWEv+E(v^2)]$

さらにここで

$Ev=\tau=1/\mu$

であり

$\rho=\lambda/\mu$

であることを用いると

$E(N^2)=\lambda{EW}+\rho+\lambda^2E(W^2)+2\lambda{\rho}EW+\lambda^2E(v^2)$

さらに

$E(v^2)=Var(v)+Ev^2=(c_s^2+1)Ev^2$

を用いると

$E(N^2)=\lambda{EW}+\rho+\lambda^2E(W^2)+2\lambda{\rho}EW+\rho^2(c_s^2+1)$ ・・・・(62)

を導き出すことが出来ます。
次に $Var(N)$ を求めます。「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２）」に登場した式(47)

$EN=\rho+\lambda{EW}$ ・・・・(47)

と式(62)を用いて

- $=\lambda{EW}+\rho+\lambda^2E(W^2)+2\lambda\rho{EW}+\rho^2(c_s^2+1)-\rho^2-2\rho\lambda{EW}-\lambda^2EW^2$
- $=\lambda{EW}+\rho+\lambda^2E(W^2)+\rho^2c_s^2-\lambda^2EW^2$
- $=\lambda{EW}+\rho+\rho^2c_s^2-\lambda^2Var(W)$

よって

$Var(N)=\lambda{EW}+\rho+\rho^2c_s^2-\lambda^2Var(W)$ ・・・・(63)

式(62)と(63)はGI/G/1についての式ではなくM/G/1についての式であることに注意して下さい。今度はこれをGI/G/1用に補正します。

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（７）」に続きます。