複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）

待ち行列ネットワークへの助走

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（２）」の続きです。


次に[tex:P*1]を求めてみます。まず

  • [tex:P*2\frac{4}{t_e}=P*3\lambda_1]

よって

  • [tex:P*4=4{\times}\frac{1}{4}P*5u_1]

この右辺に式（３０）を用いて

  • [tex:P*6=\frac{4^4}{4!}p_0u_1^4]

これを一般化して

  • [tex:P*7=\frac{4^4}{4!}p_0u_i^4]・・・・・（３２）


最後に[tex:P*8]を求めてみます。まず

よって

  • [tex:P*12=4{\times}\frac{1}{4}\{P*13u_2+P((1,2,2)u_1\}]

この右辺に式（２５）を用いて

  • [tex:P*14=\frac{4^4}{4}p_0u_1^2u_2^2]

これを一般化して、i{\ne}jの時

  • [tex:P*15=P*16=\frac{4^4}{4}p_0u_i^2u_j^2]・・・・（３３）

同様に式（１７）

  • [tex:P*17=4^4p_0u_1u_2u_3u_4]・・・・・（１７）

を一般化して

  • [tex:P*18=4^4p_0u_iu_ju_ku_m]・・・・・（３４）

ただし、i{\ne}j、i{\ne}k、i{\ne}m、j{\ne}k、j{\ne}m、k{\ne}mとします。


いままでの結果を並べてみます。ただしここでも、i{\ne}j、i{\ne}k、i{\ne}m、j{\ne}k、j{\ne}m、k{\ne}mとします。

  • 装置が１台処理中の場合
    • [tex:P*19=4p_0u_i]・・・・・（２７）
  • 装置が２台処理中の場合
    • [tex:P*20=\frac{4^2}{2}p_0u_i^2]・・・・・（２４）
    • [tex:P*21=4^2p_0u_iu_j]・・・・・（２８）
  • 装置が３台処理中の場合
    • [tex:P*22=\frac{4^3}{3!}p_0u_i^3]・・・・・（３０）
    • [tex:P*23=P*24=\frac{4^3}{2}p_0u_iu_j^2]・・・・・（２５）
    • [tex:P*25=4^3p_0u_iu_ju_k]・・・・・（２９）
  • 装置が４台（つまり全て）処理中の場合
    • [tex:P*26=\frac{4^4}{4!}p_0u_i^4]・・・・・（３２）
    • [tex:P*27=tex:P*28=\frac{4^4}{3!}p_0u_iu_j^3]・・・・・（３１）
    • [tex:P*29=P*30=\frac{4^4}{4}p_0u_i^2u_j^2]・・・・（３３）
    • [tex:P*31=P*32=P*33=\frac{4^4}{2}p_0u_iu_ju_k^2]・・・・・（２６）
    • [tex:P*34=4^4p_0u_iu_ju_ku_m]・・・・・（３４）


これらを眺めて気づくのは、本来

  • [tex:P*35=\frac{4^2}{2!}p_0u_iu_j]・・・・・（３５）
  • [tex:P*36=\frac{4^3}{3!}p_0u_iu_ju_k]・・・・・（３６）
  • [tex:P*37=\frac{4^4}{4!}p_0u_iu_ju_ku_m]・・・・・（３７）

であり、クラスの並べ方の違うものを１つの状態にまとめたので上記のように複雑になったのではないか、ということです。ちょっと分かりにくいので例を出します。[tex:P*38]の場合、状態\{(i,j,k)\}は

  • \{[i,j,k]\}、\{[i,k,j]\}、\{[j,i,k]\}、
  • \{[j,k,i]\}、\{[k,i,j]\}、\{[k,j,i]\}

の６つの状態を合わせたものと考えられ、この１つ１つが式（３６）で与えられる確率を持つと考えるわけです。そうするとこの６つ（＝３！）の状態の確率の合計は式（２９）に一致します。さらに[tex:P*39]の場合は、状態\{(i,j,j)\}は

  • \{[i,j,j]\}、\{[j,i,j]\}、\{[j,j,i]\}

の３つの状態を合わせたものと考えられ、この１つ１つが式（３６）で与えられる確率を持つと考えれば、この３つの状態の確率の合計は式（２５）に一致します。同様な考え方が装置が２台処理中の場合にも４台処理中の場合にも成り立ちます。


とすれば、最初の状態の定義の仕方をもう少し工夫すると、状態確率がきれいに（クラスが等しい場合と等しくない場合に分けることなく）表すことが出来そうです。ではどのように状態を定義すればよいのでしょうか？


「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（４）」に続きます。

*1:1,1,1,1

*2:1,1,1,1

*3:1,1,1

*4:1,1,1,1

*5:1,1,1

*6:1,1,1,1

*7:i,i,i,i

*8:1,1,2,2

*9:1,1,2,2

*10:1,1,2

*11:1,2,2

*12:1,1,2,2

*13:1,1,2

*14:1,1,2,2

*15:i,i,j,j

*16:j,j,i,i

*17:1,2,3,4

*18:i,j,k,m

*19:i

*20:i,i

*21:i,j

*22:i,i,i

*23:i,j,j

*24:j,j,i

*25:i,j,k

*26:i,i,i,i

*27:i,j,j,j

*28:j,j,j,i

*29:i,i,j,j

*30:j,j,i,i

*31:i,j,k,k

*32:i,k,k,j

*33:k,k,i,j

*34:i,j,k,m

*35:i,j

*36:i,j,k

*37:i,j,k,m

*38:i,j,k

*39:i,j,j