複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（４）

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）」の続きです。

ではどのように状態を定義すればよいのでしょうか？

これは前回の、状態 $\{(i,j,k)\}$ を

$\{[i,j,k]\}$ 、 $\{[i,k,j]\}$ 、 $\{[j,i,k]\}$ 、
$\{[j,k,i]\}$ 、 $\{[k,i,j]\}$ 、 $\{[k,j,i]\}$

に分解したことを考えれば分かります。この場合装置４台のうち３台が処理中ですが、空いている１台がどの位置にあるかを気にしてはいません。よって、状態の定義は以下のようになります。

ジョブが現実にどの装置上にあるかにかかわらず、図の上では装置＃１から順に詰めていくものとする。
ただしクラスを１から順にソートすることはしない。

なお、このように書いた状態で、処理中のどれかのジョブが終了して出て行った場合は、そのジョブの位置より右側の全てのジョブが１つずつズレるものとします。たとえば

$\{(2,1,4,3)6,7\}$

でクラス1のジョブが終了したとすれば、終了後の状態は

$\{(2,4,3,6)7\}$

となるとします。

次に問題になるのは、上のように定義した状態に対してどのような平衡方程式を与えるか、です。その前に前の定義（「複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（２）」）で行った状態と今回の定義で行った状態を記法の上で区別することについて述べます。前の定義の状態の場合は処理中のジョブについて丸カッコ $()$ を用います。今回の定義の状態の場合は処理中のジョブについて角カッコ $[]$ を用います。たとえば、状態 $\{(1,2,3)\}$ は、以下の６つの状態の和です。

$\{[1,2,3]\}$ 、 $\{[1,3,2]\}$ 、 $\{[2,1,3]\}$ 、 $\{[2,3,1]\}$ 、 $\{[3,1,2]\}$ 、 $\{[3,2,1]\}$

この点をはっきりさせた上で平衡方程式の形を検討します。そのために状態 $\{(1,2,3)\}$ について今までどのような平衡方程式を立ててきたかを考えます。状態 $\{(1,2,3)\}$ の平衡方程式は以下のようなものでした。

[tex:P*1\frac{3}{t_e}dt=P*2{\lambda_3}dt+P*3{\lambda_2}dt+P*4{\lambda_1}dt]・・・・・（３８）

これを今回の新しい状態定義で考え直すと下図のようになります。（図ではジョブは右から順に詰めていくように書いています。）

図１

この図から、たとえば一番上の状態 $\{[1,2,3]\}$ については

$P([1,2,3])\frac{3}{t_e}dt=P([1,2])\lambda_3dt$ ・・・・・（３９）

他の状態についても同様に平衡方程式を立てると、図１が成り立つことが分かります。もちろん、図１から式（３９）は導出出来ません。しかし式（３９）などから図１が成り立つことは言えます。つまり式（３９）などは図１の充分条件ではあるが必要条件ではないということです。式（３９）を仮定して計算し、うまくいかなければ別に考える、というのがここでの態度です。さて、式（３９）を一般化すれば

$P([i,j,k])\frac{3}{t_e}dt=P([i,j])\lambda_kdt$ ・・・・・（４０）

となります。ここで注意すべきなのは、式（４０）では $i{\ne}j$ 、 $j{\ne}k$ 、 $\i{\ne}k$ という条件をつけなくてもよいということです。たとえば状態 $\{(1,2,2)\}$ についての平衡方程式は以前の考察から

[tex:P*5\frac{3}{t_e}=P*6\lambda_2dt+P*7\lambda_1dt]・・・・・（４１）

ですが、これを新しい状態に分解すると下図のようになります。

図２

この場合も式（４０）が成り立てば図２が成り立ちます。

さて式（４０）を、処理中の装置が１台の場合、２台の場合、４台の場合について拡張すると

$P(S(+i))\frac{N}{t_e}dt=P(S)\lambda_idt$ ・・・・・（４２）

と表すことが出来ます。ただし、状態 $S(+i)$ は状態 $S$ にクラス $i$ のジョブが到着して出来た状態を表わします。また $N$ は処理中のジョブの数です。さらに、このステーションにジョブが５個以上ある（すなわち待っているジョブが１個以上ある場合について考えても、式（４２）が成り立つことが分かります。ただし $N$ が４より大きくならないことに注意します。